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微分几何
  • 项目名称：微分几何
  • 项目类别：创新研究群体科学基金
  • 批准号：11221091
  • 申请代码：A0103
  • 项目来源：国家自然科学基金
  • 研究期限：2013-01-01-2015-12-31
  • 项目负责人：张伟平
  • 负责人职称：教授
  • 依托单位：南开大学
  • 批准年度：2012
中文摘要：

在本群体项目的第三期中，我们将在前六年工作的基础上，继续围绕着微分几何的核心与热点问题展开创新性性的研究。通过进一步加强本群体成员之间的交流与合作，以及各种形式的国内外学术交流等，拓展我们已有的研究方向与研究领域。力争在微分几何更多的重要研究方向及问题上，取得一批有重要国际影响的原创性研究成果，使我们的学术研究始终处于一个高的水平，在国际上能够继续保持并提升已有的地位和影响力。我们力争在未来的三年中完成高水平研究论文40篇以上。 本群体研究工作的重点将集中在Atiyah-Singer指标理论及其应用，Hamilton系统与辛几何特别是Riemann及Finsler几何中测地线的存在性、多重性、稳定性，Riemann及Finsler流形的几何性质与拓扑性质，非交换微分几何，算术代数几何，扭结不变量、Lie群、Lie代数及其表示理论在几何与数学物理中的应用等方面。

中文主题词： 几何量子化；eta不变量；Seifert 猜想；闭测地线；李2-双代数
英文摘要：

geometric quantization；eta invariants；Seifert conjecture；closed geodesics；Lie 2-bialgebras

英文主题词： geometric quantization；eta invariants；Seifert conjecture；closed geodesics；Lie 2-bialgebras
结论摘要：

以张伟平、龙以明院士为核心的南开大学微分几何研究集体是在已故数学大师陈省身先生的亲自关心和指导下形成的。2007年本研究集体入选国家自然科学基金委创新研究群体项目。在国家自然科学基金委持续9年的大力资助下，本群体成员不懈努力，在微分几何及相关的多个研究方向如Atiyah-Singer指标理论、大范围分析与哈密顿系统、算术代数几何、实与复的Finsler几何、Lie理论与数学物理等方面取得了一系列有重要影响的国际先进创新性研究成果。 近三年来，本研究群体发表研究论文70余篇，多篇论文在国际一流数学刊物上发表。特别是张伟平与人合作的一项研究工作于2014年发表在了国际数学顶级杂志《Acta Math.》上，是该刊物1949年以来仅发表的3篇大陆数学家的论文之一。这项研究工作解决了著名数学家Vergne在2006年国际数学家大会一小时报告中提出的一个猜想，该猜想是辛几何中著名的Guillemin-Sternberg猜想在非紧情形的一般化。另外，本群体在过去三年取得的代表性研究成果还有对任意紧凸对称区域证明了1948年著名数学家Seifert提出的存在N条闸轨道的猜想，相关文章发表在国际一流数学刊物《Comm. Pure Appl. Math.》；利用Atiyah-Patodi-Singer提出的η不变量计算了Eells-Kuiper四元数射影平面的Eells-Kuiper不变量，解决了Bérard-Bergery及Besse提出的两个公开问题，相关文章发表在了《Adv.in Math.》上；利用绝热极限技术，将之前对偶数维流形引入的一种新的η不变量与自然定义的一簇Dirac型算子的行列式丛的holonomy联系了起来，从而给出了这种η不变量的一个内在的谱理论解释，相关文章发表在了《Adv.in Math.》上；研究了奇数维实射影空间的自由闭圈空间的不可缩分支的拓扑结构，在某种条件下得到了同调不可缩visible闭素测地线的共振等式，相关文章发表在了《Adv.in Math.》上；系统研究了李-2双代数，给出了严格李-2双代数对应的Manin三元组和相应的高阶经典Yang-Baxter方程的构造。特别通过左对称代数和辛李代数给出了严格李2-代数的具体构造等，相关文章发表在了《Comm. Math. Phys.》上。

成果综合统计
成果类型
数量
  • 期刊论文
  • 会议论文
  • 专利
  • 获奖
  • 著作
  • 80
  • 0
  • 0
  • 0
  • 0
期刊论文
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-Coordinated modules for vertex algebras
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Splitting of operations, Manin products, and Rota-Baxter operators.
Deformation of ？ -adic sheaves with undeformed local monodromy
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η-Invariant and a problem of Bérard-Bergery on the existence of closed geodesics
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Resonance identity for symmetric closed characteristics on symmetric convex Hamiltonian energy hyper
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Relative Rota-Baxter operators and tridendriform algebras
On soliton solutions to a class of Schr？dinger-KdV systems
Lie 2-bialgebras
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The Category and Operad of Matching Dialgebras
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Linear stability of elliptic Lagrangian solutions of the planar three-body problem via index theory.
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