中文摘要：

从范畴的角度推广三角矩阵代数的概念，引入三角矩阵微分分次范畴，揭示其与相应的范畴代数的关系，刻画其模范畴的结构与同调性质；探讨单点扩张DG范畴从原DG范畴保留下来的性质，比如关于Morita等价、导出等价等问题的保持，即两个DG范畴的Morita等价(或导出等价)能否扩充为相应的单点扩张DG范畴的Morita等价(或导出等价)；研究三角矩阵DG范畴与Recollement的联系，一方面研究三角矩阵DG范畴自然诱导的Recollement，另一方面研究哪一类DG范畴的Recollement对应三角矩阵DG范畴，考查DG范畴的Recollement能否提升到相应单点扩张DG范畴的Recollement。以上研究，是三角矩阵代数与DG范畴交叉的新探索，也是代数扩张与范畴扩张的新尝试，是对代数理论与范畴理论的丰富和发展。

结论摘要：

我们引入三角矩阵微分分次范畴，推广了三角矩阵代数与k线性三角矩阵范畴的定义，刻画其模范畴的结构，证明了模范畴是一个comma范畴，从而诱导两个自然的Recollement。单点扩张DG范畴是特殊的三角矩阵DG范畴。我们研究单点扩张DG范畴从原DG范畴保留下来的性质，证明了两个DG范畴的拟等价和导出等价可以扩充为单点扩张DG范畴的拟等价和导出等价，推广了Barot-Lenzing的一个结果。进一步研究由稳定商构造Abel范畴的方法，证明了单边三角范畴关于rigid子范畴的稳定范畴是一个模范畴，统一了Iyama-Yoshino关于三角范畴版本和Demenet-Liu关于正合范畴版本的两个已有工作。