中文摘要：

1957年，Rényi把整数进制的表示推广到β-展式（β为任意大于1的实数），这极大地丰富了实数的表示方法，随着β-展式理论的发展，其与分形几何、动力系统、有限自动机、Tiling等方向的联系也越来越紧密。本项目对非整数基的情况进行研究，此时β-数字序列所对应的符号空间包含有限型子移位(subshift of finite type)和无限型子移位，我们的研究对象主要是后者情形中的分形集及重分形集的Hausdorff维数，希望从中找出研究β-展式中的分形集的普适性方法，所涉及的集合包含以下几类1、被其β-收敛因子以任意给定阶逼近的实数的集合；2、β-数字的分布问题，如数字平均、频率问题等；3、先考虑β-变换的由首次常返（recurrence）时间刻画的常返率的度量结果，然后考察其例外集的重分形谱；

结论摘要：

1957 年，Rényi 把整数进制的表示推广到β-展式（β为任意大于1 的实数），这极大地丰富了实数的表示方法，随着β-展式理论的发展，其与分形几何、动力系统、有限自动机、Tiling 等方向的联系也越来越紧密。本项目对非整数基的情况进行研究，此时β-数字序列所对应的符号空间包含有限型子移位(subshift of finite type)和无限型子移位，我们的研究对象主要是后者情形中的分形集及重分形集的Hausdorff 维数，希望从中找出研究β-展式中的分形集的普适性方法，所涉及的集合包含以下几类1、被其β-收敛因子以任意给定阶逼近的实数的集合；2、β-数字的分布问题，如数字平均、频率问题等；3、先考虑β-变换的由首次常返（recurrence）时间刻画的常返率的度量结果，然后考察其例外集的重分形谱；本项目对这几类问题进行了研究，得到了完整的结果，并且得到了一种普适性的逼近性方法，该方法可以用来给出一些与任意β-展式相关的集合的Hausdorff维数的下界。