中文摘要：

本项目立足于数学，结合相关的物理现象，从全新的观点出发, 对具有间断点的振动系统逆谱问题进行系统和深入的研究. 具体内容有(1) 建立具有间断点的振动系统新的微分算式, 形成自伴微分算子并刻画谱的特性. (2) 研究具有限个间断点的振动系统逆谱问题，包括密度函数唯一确定和重构；实现Hochstadt的半逆谱定理. (3) 考虑定义在整个实轴和半实轴上具有间断点的振动系统的逆谱和逆散射问题，建立该问题的Borg-Marchenko定理，并研究离散谱数据缺失的条件. (4) 研究带势函数的弦方程的逆谱问题. 解决势函数和密度函数的存在性、唯一性以及重构问题, 以建立该问题的Borg定理. (5) 研究Jacobi算子, 非线性Sturm-Liouville算子，Dirac方程等振动系统的逆谱问题. 上述研究内容将进一步丰富和拓展微分算子理论，为解决相关物理问题提供理论基础.

结论摘要：

逆谱问题在地球物理、量子力学、气象学、电子学等领域有着十分广泛而直接的应用,也是求解数学物理中非线性发展方程的有效途径之一。本项目立足于数学理论，结合相关的物理现象，从新的观点出发，对具有间断点的振动系统逆谱问题进行系统和深入的研究。经过四年的研究，我们取得了以下重要结果。 考虑闭区间上内部点条件含谱参数的非连续Sturm-Liouville (SL)问题。通过构造适当的Hilbert空间，使其在该空间上生成自伴算子，探明其谱的性质，为解决逆问题奠定了基础。给出了谱信息唯一确定算子的结论，即Borg两组谱和Marchenko谱数据唯一性定理。进而，利用谱映射方法，给出了势函数、边界条件以及内部点条件参数的重构算法。研究混合谱数据对应的逆谱问题，建立了该问题的Hochstadt半逆定理以及Gesztesy-Simon唯一性定理等。此外，考虑逆传输特征值问题，给出了所有特征值和部分实特征值所对应的规范常数，在不同环境下，唯一确定势函数的结论。该结果圆满回答了Aktosun和Cakoni等人提出的公开问题。 基于非连续SL问题，建立新的Borg两组谱定理，即用原SL问题的谱和一个非连续问题的谱来确定势函数。按照不同类型的界面条件，分别给出了唯一确定势函数的条件；在较弱的条件下，证明最多有有限多个势函数与两组谱对应。 研究以特征函数结点为谱数据的逆结点问题。通过建立特征值与势函数Lebesgue点之间的关系，提出了解决逆结点问题的新方法，并给出了稠密结点集唯一确定势函数的非超定条件。进一步将此方法运用于非连续SL问题，完全解决了它的逆结点问题。 对于势函数在内部子区间已知的情形，借助于内部谱数据，给出了部分特征值唯一确定势函数以及边界条件的结论。对于定义在半实轴上的奇异SL微分算子，当势函数属于Bargmann- Jost- Kohn类时，我们证明散射矩阵和势函数在有限区间上的信息可唯一确定势函数，此结论可以使没有物理意义的规范常数缺失。 除上述对于SL算子的结论外，课题组还研究了Jacobi 算子, SL微分束和Dirac微分算子等振动系统相应的逆谱问题。