中文摘要：

多复变函数论是现代数学的主流方向之一，几何函数论是其重要的组成部分，目标是澄清全纯映射像的几何性质与分析性质之间的联系，有着十分丰富的研究内容。龚升和Fitzgerald于1988年率先在多复变数几何函数论领域取得突破，中国、美国、加拿大、日本和罗马尼亚等国的学者相继加入研究，其中中国学者在该领域的研究工作最为杰出。自1993年起，美国数学会已将其列为年会的专题，2002年国际数学家大会将其列为卫星会议，国际上每年都有学术会议进行专题交流。拟用多复变、微分几何及李群、李代数等较现代的数学工具，建立复Banach空间单位球上星形映射族和准凸映射族的偏差定理；给出不同维数复Banach空间中单位球之间的全纯映射族的Bohr半径；得到多复变数不同定义域上各种全纯映射子族的Bloch常数的存在性和估计；对相关问题进行一些探索性研究。项目组对这些问题已有较充分的前期研究基础，有望取得突破或显著进展。

结论摘要：

多复变函数论是现代数学的主流方向之一, 几何函数论是其重要的组成部分, 目标是澄清全纯映射像的几何性质与分析性质之间的联系, 有着十分丰富的研究内容. 本项目以多复变数几何函数论中的某些重要问题为研究对象, 取得的成果主要体现在以下五个方面: 一是讨论了某些全纯映射子族齐次展开式的精确估计, 即部分解决了多复变数的Bieberbach猜想; 二是研究了20多年来没有任何进展的星形映射族的偏差定理, 项目组在这一问题的研究上有了新的突破; 三是建立了某些全纯映射族的增长定理和掩盖定理, 深化了许多已有的结果; 四是得到了多复变数不同定义域上各种全纯映射子族的Bloch常数的存在性和估计, 拓宽了Bloch常数的研究范围; 五是对一些相关问题开展研究, 刻画了某些函数空间的结构特征及其上线性算子的特性. 多复变数的Bieberbach猜想、星形映射族的偏差定理和多复变数全纯映射的Bloch常数问题等都是多复变数几何函数论中的研究热点. 通过本项目的研究, 使我们在多复变数几何函数论方面形成了自身的特色和优势, 发展和创新了这一基础研究领域. 本项目的结果也将进一步丰富多复变数几何函数论的研究成果, 具有十分重要的理论价值. 经过三年的努力, 项目按计划圆满完成, 取得了预期的成果. 项目组成员先后在中国科学、数学学报、数学年刊、Acta Mathematica Scientia、Proc. Amer. Math. Soc.、J. Math. Anal. Appl.、J. Comput Anal. Appl.、Rocky Mountain J. Math.、Taiwanese J. Math.、Computers Math. Appl.和Math. Inequal. Appl.等国内外学术刊物发表论文26篇, 其中SCI收录论文14篇、一级刊物论文9篇. 在本基金的资助下, 项目组先后承办或协办全国性学术会议3次; 基于本项目的部分成果, 主持人刘太顺教授在2011年获第六届高等学校国家教学名师奖, 在2012年被遴选为享受国务院特殊津贴专家; 成员刘小松副教授在2010年晋升为教授, 成员唐笑敏副教授在2011年立项主持国家自然科学青年基金项目1项.