中文摘要：

分数阶微积分具有非局部性及记忆性，从而非常适合用于描述自然界中的反常扩散现象。从现实问题中，抽象出分数阶反常扩散方程后，如何求解这类问题，是当前一个热门问题。本项目结合分数阶微积分算子的性质，从随机游走模型出发，引入随机表示，建立分数阶反常扩散方程与随机过程的联系；利用随机表示，研究多孔介质地下水渗流模型，模拟溶质在地下水中的运动轨迹，有利于解决经济迅猛发展同时引起的严重的环境问题；结合随机表示，将分数阶微积分理论应用到金融市场中，在经典模型基础上考虑了市场的突发性及记忆性，推导期权的定价公式，研究得出的结果不仅可以弥补经典期权定价模型的不足，还可以解释真实市场中出现的复杂经济现象；因此，本项目的研究，不但可以解决物理和金融中的一些反常扩散问题，而且对数学中分形几何和分数维动力学的发展也起到推动作用。