中文摘要：

无限维拓扑学是拓扑学的一个生机勃勃的重要分支，与诸多数学学科有密切的联系。本项目组主要希望研究以下问题第一，对于无限的紧度量空间X和比较好的格L，研究赋予Hausdorff度量拓扑的所有L-值上半连续函数的下方图形全体USC（X，L）的拓扑结构；研究它的子空间，所有L-值连续函数的下方图形全体的拓扑结构及其在USC（X，L）中的拓扑位置。第二，当X为Banach空间时，在Wijsman拓扑和Attouch-Wets拓扑下所有凸闭集和所有紧凸集的超空间的拓扑结构。第三，研究广义度量空间理论问题，包括度量空间的商S-象的乘积、M3 空间是否等价于M1 空间及与弱基有关的一些问题等。上述第一个内容来源于图象处理，在理论上我们希望能证明一个格值的Curtis-Schori- West超空间定理，第二个内容与泛函分析有密切关系，第三个内容是广义度量空间理论的重要问题。

结论摘要：

弄清函数空间和超空间的拓扑结构是无限维拓扑学研究的一个重要课题. 本课题组提出了一种新的函数空间和超空间的拓扑结构,它来源于图像处理的数学模型的数学形态学. 对任一个紧度量空间X, 我们考虑了从X到单位闭区间I 的所有上半连续函数之集及连续函数之集的下方图形并赋予Vietoris拓扑所构成的超空间, 我们完全弄清它们的拓扑结构以及后者在前者的拓扑位置. 我们还弄清楚了当X是一个Peano连续统时,所有从X到I的Lipchitz 函数之集赋予Vietoris拓扑后的拓扑结构. 这些工作为数学形态学所关心图形性质提供了清晰的拓扑结构. 对任一个Euclidean空间X, 我们研究了它的所有非空闭凸子集赋予Fell 拓扑所成的空间, 弄清了它的拓扑结构. 另外,我们还研究了反射闭集族和反射自连续映射族的特征.在广义度量空间方面, 我们建立了遗传覆盖性质和选择理论之间的联系. 引入了半连续函数插入的概念并给出了半层结构的函数插入刻划, 丰富了函数插入理论.分别利用G函数和K网的概念建立了一系列度量化定理.