中文摘要：

有限域上多项式的次数与其零点个数的P-adic 估计和指数和有着密切的关系。如果能够降低多项式的次数并同时保证多项式的零点个数不变，则可以改进所有的P-adic估计和指数和估计。本项目就是要研究和寻找这种降次。所采用的途径是对Newton多面体进行压缩，重点要研究在什么情况下可以实施这种降次，怎样降次，以及它对P-adic 估计和指数和估计的改进程度。

结论摘要：

本项目主要研究有限域上多项式组的解，在确定解的个数的精确公式、估计解的个数（包括P-adic估计）等方面取得了一些新的成果。截止目前，共发表（含接收）学术论文8篇，其中7篇被SCI收录。研究有限域上多项式组的解不仅在理论上具有重要意义，而且在密码和编码等学科上也有潜在的应用价值。众所周知，线性方程组的“系数矩阵”对于研究线性方程组的解的个数及其结构有着重要的作用。对于非线性方程组，由于多变量单项式的存在和变量次数的增加，问题变得十分复杂。我们发现，对于有限域上多变量多项式组，可以定义其次数矩阵，通过对次数矩阵的研究，从而得到关于解的若干信息。我们对次数矩阵进行降次，化其为更简单的次数矩阵，得到了有限域上一类上多变量多项式组的解的个数的精确表达式，并推广了孙琦、王文松、Carlitz 和Baoulina等人的相关结果。我们还利用牛顿多面体研究该问题。凸体理论在数学和计算机科学中均具有广泛的应用；多项式的牛顿多面体是一种特殊的凸体，它定义为多项式中所有单项式的次数向量（看作欧氏空间中的点）与坐标原点的凸包。利用牛顿多面体，可以把许多复杂的代数问题转化为直观的几何问题，而后者往往较易解决。譬如，著名的BKK定理通过牛顿多面体的体积给出了复数域上一组多项式公共零点的解数上限， Ostrowski，Gao 和Lauder等人利用牛顿多面体的分解来研究多项式的可约性，而Adolphson和Sperber则发现牛顿多面体的伸缩与有限域上多项式零点个数的P-adic估计有着密切的联系。通过不考虑牛顿多面体中所有的点而只是考虑其中次数较低的点以及“孤立点”，我们改进了Chevally-Warning定理和Ax-Katz 定理。我们还利用Stickelberger关于高斯和的定理，给出了有限域上指数和的P-adic估计的一个初等而有效的算法。