中文摘要：

本项目研究椭圆曲线密码学中所涉及到的椭圆曲线的快速算法以及基于环上椭圆曲线的密码系统.主要特点是综合运用代数函数域的深刻理论考察现有算法,发现特点和缺点,从而提出新的快速算法；在局部环上定义椭圆曲线，使之具有较为特殊的密码学特性，进而构造具有特殊性质（例如可以进行角色加密）的密码系统. 椭圆曲线标量乘法中标量的不同表示方式(展开方式)可以给出不同的算法.我们计划寻找混合多基表示中效率最高的算法,以及可以应用到改进双线性对的计算速度的算法. 双线性对(Weil对和Tate对)在椭圆曲线密码学中有重要的应用,我们计划研究双线性对的快速实现以及构造适宜对子实现的椭圆曲线. 对于环上椭圆曲线来说，我们要解决的主要问题是构造完备系统，使之可以成群；构造适合环上椭圆曲线特点的密码协议.

结论摘要：

椭圆曲线密码学是当前信息安全领域的研究热点，在一些传统的密码功能（加密、签名、密钥交换）上， 椭圆曲线密码系统的参数规模比基于整数分解和有限域上离散对数问题的密码体制小得多。本项目重点研究了椭圆曲线密码学中所涉及椭圆曲线的标量乘和双线性对的快速算法以及基于环上椭圆曲线的密码系统。 椭圆曲线标量乘法中标量的不同表示方式（展开方式）可以给出不同的算法。我们给出了可用来加速点乘运算的整数双基表示的快速算法，并设计实现了针对多点乘的速度最快的联合三基表示算法。 双线性对（Weil对和Tate对）在椭圆曲线密码学中有重要的应用。我们优化了Weierstrass曲线上的Tate双线性对的计算，给出了扩域上椭圆曲线上可更快实现的一种新双线性对，并改进了KSS曲线上的扭Ate对使得Miller 算法中循环次数达到了下界，从而使其计算速度加快30%。另外，我们还给出了Selmer曲线以及四次椭圆曲线Jacobi quartic曲线的群律及其几何解释，通过给出的几何解释，我们得到了计算双线性对所需要的Miller函数的明确计算公式。 对于环上的椭圆曲线，我们解决了剩余类环 上椭圆曲线 的群运算及 的群结构问题，修复了椭圆曲线Paillier系统的缺陷，并且构造了一个环Z_(N^2 )上的椭圆曲线的安全公钥加密方案，其安全性依赖子群不可区分假设。 我们提出了构造从字符串到Montgomery和Twisted Edwards 形式的椭圆曲线曲线的哈希函数的方法，并构造了与随机谕言不可区分的函数。另外，我们利用求立方根的方法构造了一个从有限域F_q映射到C_34曲线上的确定函数，并以此构造了从字符串到C_34曲线上的哈希函数。 我们利用列表译码方法研究积性码可接近的单向陷门函数的比特安全性，证明ax+b mod p的任意比特是p阶循环群上该类单向函数的hard-core谓词。