中文摘要：

Burgers 方程是广泛应用于众多领域的一类重要的非线性发展方程，研究其高性能数值解法具有重要的理论意义和应用价值。数值求解Burgers方程，需要处理离散化后的非线性代数系统，对大规模、高精度问题而言，将会遇到存储量大、计算复杂度高的瓶颈问题。针对这一困难，本项目拟采用多尺度Galerkin方法来离散化Burgers方程的空间变量，在每个时间层上，提出快速求解离散化所得非线性方程组的多层扩充算法，预期算法以准线性的计算复杂度得到最优收敛阶。在此基础上，针对高雷诺数Burgers方程的解局部出现激波的特性，利用多尺度基底对函数的极强表现力，并充分挖掘多尺度离散所得代数系统的多尺度层次性，研究将空间变量自适应多尺度分解与多层扩充法相结合的快速算法，以提高求解的稳定性和效率。研究成果将进一步丰富多尺度数值计算方法的理论，并为其它类型的非线性发展方程的数值计算提供借鉴。

结论摘要：

Burgers方程是一类重要的非线性发展方程，研究其高性能数值解具有重要的理论意义和应用价值。由于非线性性，传统数值方法求解该问题时，需要消耗巨大的存储空间和时间成本。针对这一瓶颈问题，本项目发展了求解Burgers方程的多层扩充快速算法。具体而言，我们利用Sobolev空间上的多尺度正交基离散方程的空间变量，用Crank-Nicolson方法离散时间变量。根据Reisz表示定理，将每个时间层上的方程视为一个第二类的非线性算子方程，然后构造多层扩充算法进行快速求解。该算法先在固定初始层上求出一个较粗的近似解，然后将高层部分的“细节”逐层添加上去加以校正，最终获得符合精度要求的近似解。由于算法只需求解固定初始层上的非线性方程组，因此存储空间和计算复杂度大大减少。本项目对算法进行了理论分析，获得了H1误差估计，证明了该算法具有最优收敛阶。数值实验验证了理论分析结果，从数值计算时间来看，该算法具有几乎线性的计算复杂度。其结果与研究目标一致。研究成果进一步丰富了多尺度数值计算的理论，并为其他类型的非线性发展方程的数值计算提供借鉴。项目组成员在天元基金的资助下发表五篇论文，分别发表在《Applied Mathematical Sciences》,《Applied Mathematics Letters》,《Journal of Engineering Mathematics》,《2013 International Conference on Computational and Information Sciences》及中山大学学报自然科学版，其中两篇SCI，一篇EI，一篇国外核心，一篇国内核心。