中文摘要：

本课题拟深入研究拟线性椭圆方程在非凸多边形角点附近弱解的光滑性，特别 以p-Laplace方程作例子，将应用调和分析、复分析、偏微分方程的思想和方法，在Holder空间类中采用对方程线性化、取上下解构造闸函数、构造迭代映射、利用Leray-Schauder不动点定理等步骤得到解的适定性。特别是，着重关注凹多边形角点附近弱解的渐近展开，深刻刻画角点对弱解的奇异性的影响。拟线性椭圆方程的弱解在角点附近的奇异性和正则性问题，存在于很多现实中的实际问题，例如多孔介质流问题、非牛顿流问题、反应扩散问题、绕流问题、极小曲面问题等等，并能进一步应用于许多数学物理问题之中，而且也可以丰富拟线性方程的理论。

结论摘要：

本课题试图研究拟线性椭圆方程在非凸多边形角点附近弱解的光滑性，很多数学模型都具有这样的特征，如多孔介质流问题、非牛顿流问题、绕流问题、极小曲面问题、反应扩散问题等等。我们主要关注平面中凹多边形角点附近弱解的渐近展开性态，然后考虑解在角点附近的奇异性和正则性问题，试图深刻刻画角点对弱解的奇异性的影响。为此，课题负责人作了大量的尝试和不懈努力。例如，试图利用分离变量法，借助方程的特征研究p-Laplace方程、极小曲面方程、Aronsson方程、位势流方程等在平面上角点和三维空间中锥点附近各向同性的行为；也研究了Monge-Ampere方程和位势流方程线性化后的方程，得到它们解的存在性。因为该解非常“弱”，如何提高正则性就非常困难。由于区域的非光滑性，奇异性传播的影响不可消除，解的正则性难以提高。特别是在平面凹多边形中，最好的模型——Laplace方程在凹性角点附近无论是Dirichlet边值条件、Neumann边值条件、Robin边值条件、正则斜微商条件还是混合边值条件中，哪一种边值条件最好也就是解具有Holder连续性，这说明“非光滑”的困难不可逾越。一种策略也就是改变度量或加权，使得边界附近变得光滑，但是方程变的更为复杂，事实上从本质上看角点或锥点附近的性态还是无法改变的。此外，课题组成员也考虑了高维球面上如何寻找共形度量的问题，利用标量曲率流和Q-曲率流的方法研究了一般的Yamabe问题，得到了相应的存在性和L^{\infty}-正则性估计。课题组成员也利用加权能量法研究了二维粘性守恒律初边值问题解的大时间行为，和二维空间上具有超音速物理边界的可压Navier-Stokes方程的初边值问题解的指数衰减性。随着调和分析和偏微分方程思想和方法的不断发展，我们采用的处理许多现实世界的数学物理问题的技巧也在不断丰富了拟线性方程的理论和完全非线性方程的理论。