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非线性变分理论的若干前沿课题
  • 项目名称：非线性变分理论的若干前沿课题
  • 项目类别：重点项目
  • 批准号：10831005
  • 申请代码：A010601
  • 项目来源：国家自然科学基金
  • 研究期限：2009-01-01-2012-12-31
  • 项目负责人：丁彦恒
  • 负责人职称：研究员
  • 依托单位：中国科学院数学与系统科学研究院
  • 批准年度：2008
中文摘要：

变分法是国际上数学研究的重要领域，研究对象是具有变分结构的非线性微分方程。这些方程来自数学物理、生物工程、经济理论等科学领域，具有重要的理论和应用背景。本项目整合创新资源，拟应用极大极小方法、Morse理论、指标理论、分歧理论、极小化方法等变分和拓扑方法研究非线性变分问题中若干前沿课题；利用局部凸拓扑建立形变，发展强不定泛函的临界点理论；研究非线性Dirac方程、半线性薛定谔方程（组）、拟线性椭圆型方程、Hamilton系统等具有变分结构的微分方程解的存在性、多重性、解的类型、解的分析性质、几何性质、拓扑性质。通过对这些课题的研究，为变分理论的发展注入新内容、创造新思想、新方法，力争在非线性分析理论与应用中有重要突破。

中文主题词： 变分法；强不定问题；Dirac系统；Schrodinger 方程；拟线性方程
英文摘要：

Variational method；Strongly indefinite problems；Dirac system；Schrodinger equation；Quasilinear equation

英文主题词： Variational method；Strongly indefinite problems；Dirac system；Schrodinger equation；Quasilinear equation
结论摘要：

摘要项目集中团队的整体力量，获得了1项突破性成果、解决了2个公开问题、及取得了多项重要成果。已正式发表论文60余篇，投刊或整理中论文多篇。 论文被引用率显著提升，据美国数学会MathSciNet网站显示，2008/07/05 — 2013/02/18项目组成员（6人）论文被引用2150次2008/07/05统计数1170次、2013/02/18统计数3320次，即:【4年半增量2150次】 > 【之前多年数1170次】。非线性迪拉克方程半经典解的存在性与集中现象研究取得突破性成果。 薛定谔和迪拉克系统是量子力学的两个基本数学模型。为描述量子力学过渡到经典力学，量子系统的半经典解具有重要的物理意义。多年来非线性薛定谔方程被广泛研究，成果斐然。相较而言，因迪拉克算子的上下方都是无界的本质谱，所以迪拉克问题半经典解的存在性与集中现象研究十分困难，“在变分学中具有挑战性”，受到人们的特别关注，但长期没有类似结果。 我们这方面的工作是突破性的，证明了最小能量半经典解的存在性，分别描述了集中于非线性位势的最大点集、线性位势的最小点集、及竞争位势间的适当集合等的现象；并指出当空间变量适当移动后这些半经典解趋于极限方程的最小能量解。研究中，我们发展了强不定问题的临界点理论，如强不定泛函的Mountain-Pass导出、Nehari技巧的延伸等。特别，首次引入了“强不定二次型最佳嵌入常数”，它对于强不定问题如同Sobolev 嵌入常数之对于二阶PDE一样有着同等的基础性作用。 Lotka-Volterra竞争方程组和自由边界问题研究取得重要进展。解决了数学家 S. Terracini 关于Bose-Einstein 凝聚态薛定谔方程组的公开问题: 两个态的Bose-Einstein 凝聚态方程组的解的差的极限满足一个极限方程；证明了Terracini猜想奇异竞争极限方程组的解具有最小能量。推进了拟线性问题的研究。特别是获得: Monge-Ampere 方程研究新进展; 椭圆算子的Fucik谱与非线性薛定谔方程的多解、变号解新成果; 一个更弱光滑性下的隐函数存在性定理的建立；建立了一系列径向函数空间带权Sobolev型嵌入定理，研究了带权非齐次拟线性椭圆问题径向解的存在性；在一类扭转非线性条件下，获得了有界区域上非线性椭圆型方程和椭圆型方程组多个解的存在性等。

成果综合统计
成果类型
数量
  • 期刊论文
  • 会议论文
  • 专利
  • 获奖
  • 著作
  • 64
  • 5
  • 0
  • 0
  • 1
期刊论文
Multiple periodic solutions of superlinear ordinary differential equations with parameter,
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On the Fu?ik point spectrum for Schrödinger operators on $R^N$.
Multiple periodic solutions of ordinary differential equations with double resonance.
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The limit equation for the Gross–Pitaevskii equations and S. Terracini’s conjecture ,
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Homoclinic orbits of first order discrete Hamiltonian systems with super linear terms.
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Existence of positive solutions for a semilinear elliptic system.
Multiple solutions for a superlinear and periodic elliptic system on R^N. .
Uniform Holder Estimate for Singularly Perturbed Parabolic Systems of Bose-Einstein Condensates and
Constant sign and sign changing solutions for systems of quasilinear elliptic equations.
Positive solutions for a multi-parameter system of second-order ordinary differential equations.
Solutions for periodic Schrödinger equation with spectrum zero and general superlinear nonlinea
On Schechter's linking theorems.
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Solutions of a class of Hamiltonian elliptic systems in R^N.
Semi-classical limits of ground states of a nonlinear Dirac equation.
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Infinitely many stationary solutions of discrete vector nonlinear Schrödinger equation with sym
Bound states of nonlinear Schrödinger equations with magnetic fields.
Sobolev type embedding and quasilinear elliptic equations with radial potentials.
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Sign-changing and multiple solutions of Kirchhoff type problems without the P.S. condition.
Positive almost periodic solutions of some neutral integral equation.
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Existence and multiplicity of semiclassical states for a quasilinear Schrödinger equation in R^
Multiple periodic solutions of the second order Hamiltonian systems with superlinear terms. 385(2012
Weighted Sobolev type embeddings and coercive quasilinear elliptic equations on R^N.
Existence and concentration of semiclassical solutions for Dirac equations with critical nonlinearit
Bifurcation surfaces stemming from the Fucik spectrum，
Stationary states for nonlinear Dirac equations with superlinear nonlinearities.
On semiclassical ground ststes of a nonlinear Dirac equation. 24 (2012), no. 10, 1250029 (25pages).
一个RN上的p-拉普拉斯椭圆方程的最小能量解
一个椭圆特征问题的两个解分枝
RN上带约束的p-Laplacian椭圆问题的两个解
一类带Hardy临界指数的半线性椭圆方程的多重解问题
一类p-拉普拉斯方程解的存在性
EXISTENCE AND MULTIPLICITY OF SOLUTIONS TO A CLASS OF DIRICHLET PROBLEMS WITH IMPULSIVE EFFECTS
Permanence of a diffusive Leslie-Gower predator-prey model incorporating a prey refuge
On the existence of solutions for Schrodinger-Maxwell systems in R^3
On some nonlocal eigenvalue problems,
Critical point theorem for asymptotically quadratic functional without compactness.
Infinitely many solutions for asymptotically linear periodic Hamiltonian elliptic systems.
Existence of solitary waves to a generalized Kadomtsev-Petviashvili equation.
会议论文
On a diffusion system with bounded potential
On a diffusion system with bounded potential
On a diffusion system with bounded potential
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著作
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