中文摘要：

该项目将着重研究Bergman空间上乘法算子生成的von Neumann代数以及相关的几何问题。在Hardy空间上，M. Abrahamse , J. Ball，J. Thomason, C. Cowen, Ullman, Deddens, Wong等人关于乘法算子的换位子、约化子空间等问题作了重要的工作；他们的很多结果可以平行地推广到Bergman空间上。然而对于这些算子生成的von Neumann代数结构，不同空间，结构差别很大。研究的并不多。本项目立足于算子理论和算子代数前沿，将复分析、算子理论、算子代数的的分类问题联系起来，拟在已有基础上利用函数论、区域的几何性质寻找自由群的群von Neumann代数的相关不变量；在多个算子的高维情形，以及各种区域上考虑解析覆盖映射诱导的乘法算子生成的von Neumann代数，考察其类型。也考虑其他空间的相关问题。

结论摘要：

我们考虑了函数空间上有界解析符号的乘法算子，展开了多方面的研究。 1. 解析覆盖映射的情形。这种情形是非常有趣的。结合复动力系统，复分析、算子论、代数拓扑和群论的方法，我和郭坤宇教授对Mh生成的von Neumann代数的换位子V*(h)作了完全的刻划，发现它和h的值域的基本群G密切相关；证明除了3种非常特殊的情形，该换位子代数V*(h)和基本群G诱导的自由群von Neumann代数*-同构。这是非常深刻的结果。众所周知，算子代数中有一个非常重要的公开问题，即群因子的同构问题，我们的创新点在于用函数论的角度建立了一个具体模型，为该问题的解决提供了一个崭新的角度。 2 符号h为稀疏（thin）Blashke积B的情形。这种情形下，我和郭坤宇教授对这类符号B的函数性质和几何性质作了深入的分析，利用复分析的技巧，完全刻划了V*(B)何时是非平凡的。并构造例子表明，对于大部分的B, V*(B)是平凡的。更发现V*(B)的非平凡性依赖于B诱导的某种Riemman流形的有限重分支的存在性，将算子代数的问题归结为几何上的问题。这一结果是十分深刻和具有原创性的。 3基于以上结果，郭坤宇教授和我又从算子论角度考虑了相关的问题，相关成果整理成一本专著Multiplication Operators on the Bergman Space （近300pp）. 4.Lehmer猜测是与数论相关的一个重要公开问题，该问题是指是否存在一个常数c大于1,使得除了分圆多项式外，每个整系数多项式的Mahler测度都大于c.这一猜测和数论、动力系统、遍历理论等存在深刻联系。本人考虑了Fock空间上相应版本的Mahler测度，并首次获得Lehmer猜测在函数空间上第一个肯定回答；同时证明，在加权Bergman空间上的版本总是不成立。所得结果是创新的。综合以上，课题主持人（合作）撰写专著1本， 并在国内外知名杂志上发表SCI论文4篇，项目组其他成员也有SCI文章。项目组成员还参加了第三、四、五届全国算子理论与算子代数会议，并作特邀报告；参加国际会议若干次。