中文摘要：

此项目研究的主要内容包括1.研究三个布朗运动及其相应的Levy面积过程所引导的马氏过程（其无穷小生成元是亚椭圆算子）的转移概率（即热核）的精确上下界估计和梯度估计；2.研究在此模型上Bakry-Emery热核不等式是否成立；3.在此基础上我们还将研究n个布朗运动及其相应的Levy面积过程引导的马氏过程和各向异性的高维Heisenberg群上的相应问题.在椭圆算子情形，B-E热核不等式刻画了热核的重要性质且与Ricci曲率下有界是等价的。在亚椭圆算子情形，即使在最简单的情形-Heisenberg群上的次Laplace算子，Ricci曲率不可能下有界。尽管如此，李洪全教授首次给出了Heisenberg群上B-E热核不等式成立且得到热核精确上下界估计，D.Bakry等给出了简单证明和常数估计。但在其他亚椭圆算子情形，如三个布朗运动模型是否有类似的B-E不等式和热核估计均是开问题。

结论摘要：

亚椭圆算子的泛函不等式和热核分析是当前随机分析和马氏过程理论的一个重要的研究分支，同时亚椭圆算子的热核分析也是当前几何分析的研究热点之一。在本项目中我们围绕亚椭圆算子的泛函不等式和热核分析展开研究，主要研究了如下三个方面1. n个（n大于等于3）布朗运动模型上的次Laplace算子对应的热算子半群满足的泛函不等式和热核的梯度估计，该结果已被Potential Analysis接收,待发表；2.研究了满足Hormander条件的亚椭圆算子对应的半线性热方程正解的梯度估计，该结果已被Acta Applicandae Mathematicae接收，DOI: 10.1007/s10440-012-9767-2；3.由于椭圆算子对应的热核的梯度估计可以通过建立相应热方程正解的Hamiton梯度估计来得到，为此我们研究了满足Bakry-Emery曲率下有界的椭圆算子对应的热方程正解的Hamilton型梯度估计，并由此得到对应热核的梯度估计，该结果已在Journal of Geometry and Physics发表，DOI: http://dx.doi.org/10.1016/j.geomphys.2011.12.013，同时该结果会在以后的研究中进一步的推广。