中文摘要：

本课题将发展一套计算单圈有效作用量、真空能和计数函数的新方法，并将这一方法应用于量子场论、统计力学和谱问题中。基本思路是，所要求的这三个量是全局量（不是坐标的函数）。为了计算它们，首先引入相应的定域单圈有效作用量、定域真空能和定域计数函数（它们是坐标的函数），再构造出这些定域量满足的方程。所要求的全局的单圈有效作用量、真空能和计数函数可以通过对相应的定域量求迹得到。这一方法的应用包括计算单圈有效作用量和真空能的方法在量子场论中的应用；将计算真空能的方法应用到加速膨胀宇宙模型中；将求解计数函数的方法与前期工作中的Riemann-Hilbert问题的方法相结合，发展一套求解本征值谱的方法；结合前期工作中提出的热核展开方法，将上述结果应用于计算理想和相互作用量子气的统计热力学性质；将这套方法应用于黑洞热力学中。项目计划中涉及的每个问题，课题组都有已发表或在投稿中的前期工作作为本项目的基础。

结论摘要：

本课题主要得到了以下结果（1）发展了一套计算单圈有效作用量、真空能和计数函数的新方法。具体地，我们通过引入定域谱函数的方法，构造出了单圈有效作用量、真空能和计数函数满足的方程。它们服从的是一组微分—积分方程。我们还系统地讨论了这些方程的求解问题，例如，AdS3空间和BTZ黑洞中的单圈有效作用量等。（2）热核理论和散射谱理论是量子场论中的两个非常重要的基本理论，但是它们之间的关系，尤其是两种重整化方案间的关系，是不清楚的。我们给出了热核理论和散射谱理论之间的关系。并进一步讨论了这两种重整化方案间的关系。（3）给出了一个量子化条件和量子统计分布之间关系的普遍定理。由这一定理出发，我们指出了研究量子化条件与量子统计关系的一系列文献中的错误，并给出了正确的结果。（4）给出了一种新的统计分布，中间分布。这种统计分布介于高斯分布和柯西分布之间。我们将这一分布应用于激光的谱线展宽问题和金融数据的分析，都得到了非常好的结果。（5）将随机过程中平均首达时间概念引入到量子力学问题中。系统地给出了计算量子力学中平均首达时间的方法，并讨论了这一概念在迂回跃迁、激光等问题中的应用。（6）讨论了受限空间中量子气体内部由于边界效应引起的压强，给出了压强张量的表达式，解释了一些相关的效应。（7）在关于热核与计数函数关系的工作的基础上，给出了算子的任意谱函数间关系的表达式。有了这一关系，我们不仅能得到文献中所有已知的关系，如单圈有效作用量与热核的关系，还能得到许多以前文献中没有的谱函数间的关系。作为例子，我们计算了，例如，H？、SU(n)/SU(n-1)、双曲空间以及2+1维引力问题中的谱函数。（8）我们给出了近靶散射的数学严格的结果。这一结果显示，不借助通常散射理论中的远靶条件，我们仍然可以得到散射的严格精确的结果。（9）基于本课题给出的热核方法和散射谱方法之间的关系，我们提出了一套系统的基于量子场论中热核理论的求解散射问题的方法。同时，我们还系统引进了量子场论中的重整化方法来计算奇异势的散射问题。（10）给出了一个正规化后单圈有效作用量的一个求解方法。通过这一方法，我们可以直接解出正规化后的单圈有效作用量，避免了传统方法中的许多困难和繁琐。（11）基于本课题给出的热核方法和散射谱方法的关系，给出一套利用散射方法求热核以及有效作用量的方法。这一方法可以给出热核理论中非常难以得到的热核的低能结果。