中文摘要：

由于符号计算科学的发展和应用，代数分析方法已经成功破译了一些经典的密码体制，并成为密码设计和分析的一种重要方法。本项目主要运用符号计算方法来研究密码系统中的布尔函数和多输出布尔函数。具体地，研究具有最优谱免疫度的布尔函数、Bent函数的构造与分析，寻找新的具有优良密码学性质的布尔函数类；运用符号计算的方法构造具有较好密码学性质的多输出布尔函数，包括几乎完美非线性（APN）函数、差分均匀性为4，其他密码学性质都好的置换多项式，为相关密码体制的设计提供更多候选函数；利用符号计算方法深入分析最新提出的选择离散傅里叶变换攻击，探索密码函数代数分析的新途径。

结论摘要：

运用符号计算方法设计和分析密码函数的研究项目主要包括两个方面的研究一是构造性能优良的密码函数，包括具有高非线性度的bent函数、低差分多项式、低差分置换多项式、置换多项式等；二是对非线性密码函数的性能进行分析与运用。 关于第一点我们的工作主要集中在bent函数的研究以及低差分多项式的研究。从布尔函数的Walsh谱出发，对具有两个Walsh变换系数的布尔函数进行了完全分类，这在理论上具有重要意义；构造了两类二项式p-元bent函数和一类系数在GF(p)的扩域上的二次p-元bent函数，同时还构造了具有高非线性度的低差分多项式，这些结果为密码系统的设计提供了更多候选函数。这方面的研究工作已经在《Applicable Algebra in Engineering, Communication and Computing》、《Chinese Journal of Electronics》等刊物和会议上发表5篇论文，其中4篇被SCI收录，1篇被EI收录，很好的完成了研究计划。 关于第二点我们的工作主要集中在非线性密码函数的应用上，从非线性函数出发构造了一系列循环码，并精确计算了这些循环码的Hamming重量分布。其方法主要是创造性确定了一些有限域上代数方程根的个数，并利用有限域上二次型理论和分圆技术计算相关指数和的值分布，从而确定了所构造的循环码的重量分布。这些结果不仅丰富了纠错码的理论，而且信息通讯提供了更多候选纠错线性码。这方面的研究已经在《Finite Fields and Their Applications》、《Designs, Codes and Cryptography》，《SCIENCE CHINA Mathematics》、《Discrete Mathematics》刊物发表了3篇论文，接收了2篇论文。非常好的完成研究任务。 在本项目的支持下，进行了广泛的学术交流，共参加了8人次国内学术会议, 2人次国际学术会议，做学术报告4人次。邀请境外专家2人，国内专家10人。通过学术交流开阔了视野、提高了水平，加强了合作。培养硕士研究生8人，其中毕业4人，在读4人。