中文摘要：

核酸(DNA)大分子的研究是一个典型的多尺度问题，也是联系到数学、物理、化学及生物的典型交叉学科问题。它的宏观构形与其生物功能紧密联系，如何有效的建立核酸的数学模型并进行数值模拟研究其构形的变化是人们一直努力研究的一个重要方向。生物体系中在核酸与蛋白质相互作用的区域处于原子尺度，而超缠结(supercoiling)及弹性现象则是处于宏观尺度。传统的微观模型有着计算量太大的问题，宏观的弹性模型有着过于粗粒化的问题。本研究项目的目的在于发展一个介观尺度的模型，使得其与宏观及微观模型有着自然的联系，实际计算中在不同的区域采用不同尺度的模型达到减少计算量并且尽可能真实的反应物理现象。

结论摘要：

我们针对科学与工程领域的若干随机分析及计算问题进行了探讨，典型的三个体系为生物学中的各项异性DNA的连续模型，化学反应中的介观动力学模型以及复杂网络中的马尔可夫链模型。对于各向异性的DNA模型，我们采用SO(3)群上的路径积分法修正了P.Nelson 在Phys. Rev. Lett., 80 (1998), pp. 5810 文章中的漏洞，澄清了关于各向异性DNA 两种数学模型之间的差异；对于化学反应的介观动力学模型，我们建立了tau-leaping 格式的严格数学理论基础，证明了格式为弱一阶的和强半阶的。这一工作有着基本的奠基性的意义；针对复杂网络的动力学及约化问题，设计了一个新的方法对复杂网络中的节点进行分类。计算及分析表明，我们的方法无论是在计算量上还是在计算精度上都有着较大优势，该文现已被美国科学院院刊接收。项目在执行的过程中遇到了若干问题使得研究进行了适当调整，但是最后取得的学术成果还是让人满意的。