中文摘要：

本项目主要研究在图像处理中有深刻应用的1-Laplace方程解的存在性以及特征值问题。与p-Laplace方程不同，1-Laplace方程的解一般属于BV空间，是不连续的。同时由于BV空间的对偶空间尚不是很清楚，这为利用变分方法研究解的存在性带来了很大的困难，特别是在证明相应泛函（PS）序列的收敛性上。本项目的研究主要有两方面（1）高维空间中特征值问题。高维空间中计算BV函数的全变差非常困难，主要利用轴对称化方法简化问题，再计算相应泛函的强斜率寻找强特征值。（2）临界增长的1-Laplace方程解的存在性。通过分析泛函弱斜率与次微分的关系，采用新方法（例如定义（Concrete-PS）序列或者证明Radon空间中的Brezis-Lieb引理）证明（PS）序列的收敛性，利用不光滑泛函的临界点理论来研究方程解的存在性，进一步，采用轴对称化方法计算一些具体方程解的表达式。