中文摘要：

长程作用量子可积系统在现代凝聚态物理、统计物理以及低维场论中有着广泛的应用。由于各种相互作用彼此竞争，系统的相图十分丰富，许多新奇量子态会在此类系统中产生，因此研究其中的有序态和量子相变等物理现象是重要的和新颖的。本项目将从全新的视角即长程和最近邻作用可积系统的内禀联系来研究长程关联可积系统中丰富的物理性质。该切入点有很强的操作性。一方面，以此可以创建新的有意思的长程关联可积系统，研究其中的新量子态，有序态的竞争和转变，波函数，边界态，分数统计，奇异元激发行为等。另一方面，它揭示了长程和最近邻可积系统都可纳入统一的理论框架，由此可以发展出一整套完备的处理长程多体问题的方法，解决目前缺少有效处理方法的难题，从研究方法上有所突破。本项目还研究长程作用可积系统在凝聚态物理中的应用，包括不同自旋混合系统中的量子相变，光晶格中冷原子系统的低维量子磁性等课题，为全面理解量子多体问题提供可靠的理论基础。

结论摘要：

长程作用量子可积系统在现代凝聚态物理、统计物理以及低维场论中有着广泛的应用。由于各种相互作用彼此竞争，系统的相图十分丰富，许多新奇量子态会在此类系统中产生，因此研究其中的有序态和量子相变等物理现象是重要的和新颖的。本项目在执行期间主要研究了长程关联和多种相互作用竞争在典型凝聚态体系和冷原子系统中所诱导出的物理性质。在严格解的基础上，我们研究了典型长程可积系统的基态性质、统计行为、新量子态、有序态的共存和转变、奇异元激发等。我们研究了Kitaev模型中的长程关联，多组份任意子系统，多组份玻色子系统和多组份费米子系统中所有组份间都存在相互作用时的物理性质。在我们构造的多组份任意子可积系统中，各种相互作用的强度可以不相等，从而突破了多组份系统的可积性要求所有相互作用都相等的限制。我们还构造了严格可解的具有各项异性相互作用的多组份冷原子模型，在各个不同的相互作用通道，相互作用的大小和形式并不相同。我们对自旋1/2、自旋1和自旋为3/2的情形都做了系统深入地研究，得到了对应的严格解和基态相图。发现由于各项异性，系统的基态具有自发激化，即使不加外磁场时，基态的磁化强度都不为零。在这类各项异性模型中，两体散射过程和对称性都和以前研究过的情形大不相同。例如对于自旋为3/2系统，系统具有SO（4）对称性，这在以前从来没有涉及到。我们还发现了系统中许多奇特的配对机制，非常有意思。目前，我们还在从事此类研究，希望找到一个新的普适类。为了得到该模型的严格解，我们还对Bethe Ansatz方法做了推广。我们还得到了部分长程相互作用可积系统和短程关联模型的联系，不同自旋的混合系统中的量子态，光晶格中冷原子系统的低维量子磁性和量子相变的标度行为等。 总的来说，本项目的研究成果主要集中在以下几个方面（1）长程关联诱导的新奇量子现象；（2）各项异性冷原子系统中由于不同方向上不同的相互作用产生的不同有序态，有序态的竞争、共存和量子相变；（3）多组份任意子系统的严格解，主要特色是在该系统中，不同组份间的相互作用的大小可以不同，从而突破以前可积性的限制，和实验结合得更加紧密；（4）长程关联在量子信息科学中的应用；（5）典型凝聚态物理模型和冷原子模型中的长程关联效应；（6）多组份冷原子系统中的量子临界行为；（7）量子临界系统中的强关联效应和量子态；（8）研究方法上的创新。