中文摘要：

本项目主要研究Levy过程和（双）分式布朗运动驱动的随机偏微分方程（SPDE），包括Cahn-Hilliard方程、Kuramoto-Sivashinsky方程以及衰减(damping)波动方程等，讨论这些方程解的性质(包括支撑性质、遍历性、爆炸性以及随机Anderson模型解的Lyapunov指数估计，解的规则性等）；进一步，用Levy随机场驱动的SPDE弦模型或随机场模型来描述远期利率的期限结构，讨论其在金融衍生品定价中的应用。

结论摘要：

本项目主要研究分式噪声和Levy过程驱动的随机偏微分方程（SPDE），包括Burgers方程、Cahn-Hilliard方程、Kuramoto-Sivashinsky方程以及衰减(damping)波动方程等，讨论这些方程解的性质(包括分式噪声驱动的广义Burgers方程的解存在唯一性,解的密度存在性及其矩估计; 小噪声扰动的非局部KS方程，用压缩影像原理，来验证其弱解存在并满足大偏差原理; 交互作用的ＣＨ方程组，在stepping-stone噪声扰动下，研究了这类随机方程组解的存在唯一性等)。进一步，用Levy随机场驱动的SPDE或随机场来刻画金融衍生品定价。例如在指数Levy过程的假设下，采用拉普拉斯变换，我们首先在离散时间的情况下得到了清晰的未定权益的 Follmer-Schweize分解，进而给出了对冲策略的表达式。采用马尔可夫过程调节的随机波动率模型描述外汇变化过程，利用Esscher变化得到了风险中性测度， 进而给出了外汇期权价格的表达式。提出了带马氏调节的双因子随机波动率的跳扩散模型，对外汇期权进行定价。市场状况由连续时间马尔科夫链刻画，汇率波动率分为长期波动和短期波动，其中长期波动为连续时间马氏链，短期波动为CIR过程。我们考虑带有双边跳和常数障碍分红边界的一般Lévy风险模型，将分红后的风险过程的破产问题与在极大点处反射的反射Lévy过程的首达时问题联系起来等。