中文摘要：

本项目将Banach空间中次光滑约束系统的各种约束规范条件和Banach空间中带次光滑约束逼近 和最优化问题的非约束重构有机地统一起来并利用Banach空间理论、非线性泛函分析、非光滑分析以及变分分析进行研究。本项目将研究Hilbert空间及Banach空间中带次光滑约束逼近和最优化问题的非约束重构；同时本项目还将运用非约束重构理论的研究结果来研究连续函数和可积函数空间中带次光滑约束的逼近、插值、保型样条及其光滑化问题的特征问题、唯一性问题和Lipschitz连续性问题等和数值求解这些逼近和优化问题算法的收敛性分析。本项目是属于泛函分析、非光滑分析、变分分析及函数逼近论等分支的交叉学科，无论在理论上还是在应用前景上都有重要的研究价值和学术意义。

结论摘要：

Banach空间中的逼近与优化问题一直是数学领域的一个重要的研究分支，同时又有非常重要的应用背景。近年来，随着现代应用科学的发展与需要，同时作为处理非凸或非光滑问题的一个有力的工具，黎曼流形上的优化与逼近问题也愈来愈被研究工作者们所关注。本项目通过研究带次光滑约束的逼近和优化问题的非约束重构同有关的Banach空间理论、非线性泛函分析、变分分析和非光滑分析等方面的问题，寻找它们之间的内在联系. 我们首先研究了一般黎曼流形上关于最优化问题的weak sharp minima问题，建立了黎曼流形上weak sharp minima的等价刻划，并充分研究了流形上的关于集值向量场的变分不等式问题与集值映射的零点问题，给出了Hardmard流形上非精确逼近点的算法的收敛判据。 其次，我们研究了抽象不等式系统的解的存在性和误差界问题，给出了解集的误差界的最优估计。再次，我们研究了连续函数空间中的非线性最佳同时逼近问题，给出了关于一般范数的非线性最佳同时Kolmogorov型以及交错型的特征刻画和唯一性结果。然后，我们研究了变分包含问题的数值求解，引进了广义Gauss-Newton法，建立了广义Gauss-Newton法的收敛性分析。最后，我们还研究了不动点理论、DC规划、逆特征值问题的数值求解等。我们的研究取得了一系列的丰富成果，并在国际重要刊物上发表了二十余篇有高水平的学术论文，特别地，在本学科的的世界一流刊物SIAM J. Optim. 和SIAM J. Control Optim.上已发表了六篇重要文章并引起了同行们的关注。值得一提的是，本项目研究所得结果本质地改进或推广了这一研究领域的某些已有成果，部分成果甚至具有原创性。我们的研究发展和完善了Banach空间和黎曼流形上的优化与逼近理论，无论在理论上还是在应用前景上都有重要的科学意义。