中文摘要：

非光滑拟周期系统是微分方程和动力系统研究中十分活跃的领域，其中碰撞振子是非线性振动和非光滑哈密顿系统的重要模型之一，它的研究与Fermi-Ulam 加速器问题、对偶台球问题、金属断裂学、天体力学稳定性等相关联。 本项目主要考虑拟周期碰撞系统，研究它们的不变曲面以及与稳定性相关的大范围的动力行为，包括平面拟周期扭转映射的不变曲线定理；解析以及光滑条件下近线性、超线性、次线性拟周期碰撞振子运动的不变曲面与Lagrange稳定性。 本项目的研究将发展已有的工具，运用 KAM 迭代技巧把 Moser 不变曲线定理推广到平面保相交性的拟周期映射上，并以此作为工具给出研究二阶拟周期碰撞振子运动的 Lagrange稳定性一个适用的框架。

结论摘要：

本项目讨论了非光滑拟周期系统的不变曲面和拟周期碰撞振子的Lagrange稳定性。我们给出了解析以及光滑条件下的拟周期扭转映射的不变曲线定理，并利用这些定理讨论了拟周期弹性碰撞振子运动的Lagrange稳定性。结论包括两个主要部分。 第一部分，利用解析条件下的平面拟周期扭转映射的不变曲线定理讨论了解析的拟周期碰撞振子的解的有界性 ( 即Lagrange稳定性) 问题。首先考虑了渐近线性拟周期碰撞振子在非共振和共振点附近的解的有界性，其次考虑了一类超线性拟周期碰撞振子的解的有界性，我们还考虑了半线性、次线性和有界位势的解析拟周期碰撞振子的解的有界性。其处理方式，半线性与渐近线性类似，次线性、有界位势与超线性类似。 第二部分，讨论了光滑的拟周期扭转映射的不变曲线的存在性问题，给出了相关结论并研究了一类次线性拟周期碰撞振子的解的有界性。在保相交和一定的光滑性条件下，利用Jackson、 Moser、Zehnder解析逼近定理构造出一实解析映射序列，利用KAM迭代并在迭代过程中直接进行估计，得到了拟周期映射的不变曲线的存在性。从而对充分光滑的拟周期碰撞振子，可证明碰撞解的有界性。 由此，我们给出研究二阶拟周期碰撞振子运动的 Lagrange稳定性一个适用的框架。