中文摘要：

申请者的研究集中在如下三个方面完善了Boltzmann方程的能量积分方法并得到了其稀疏波的非线性稳定性、完满地解决了Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组Cauchy问题在一个给定的Maxwell分布附近的整体光滑解的构造、结合线性化方程的谱分析及能量积分方法得到了带外力项的Boltzmann方程解的最优衰减估计并研究了高维空间中带时间周期外力项的Boltzmann方程时间周期解的存在性与稳定性；引入了一套研究带耗散项的非线性双曲型守恒律组强基本波整体非线性稳定性的方法、研究了一类非线性双曲型守恒律组由Lax-Friedrichs格式得到的熵解的适定性以及一类具有物理意义的带奇性与退化的非严格双曲守恒律组整体熵解的存在唯一性；在对非线性函数的最优局部增长条件及对初值的最优小性假设下研究了二阶非线性抛物方程的初值问题等。申请者的某些研究属开创性的并带动了相关领域的后续研究.

结论摘要：

本项目主要研究Boltzmann方程及相关的宏观模型的数学理论，所取得的主要研究进展包括完全解决了带角截断的单个粒子的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组和带角截断的两个粒子的Vlasov-Maxwell-Boltzmann方程组这两个复杂但在稀薄气体的kinetic理论起着基本重要性的kinetic方程组Cauchy问题在一个给定的整体Maxwell分布附近整体解的构造问题；研究了在抛物尺度下Boltzmann方程Cauchy问题的扩散极限问题并证明了在双曲尺度下可压Navier-Stokes方程组是Boltzmann方程的一个很好的逼近；当粘性系数为密度的退化函数且热传导系数为密度与温度的退化函数时，得到了一维可压Navier-Stokes-Poisson方程组非真空大初值整体光滑解的存在性并对粘性系数与热传导系数依赖于温度的一维可压Navier-Stokes方程组给出了一个Nishida-Smoller型的大初值结果。