中文摘要：

Hamilton-Jacobi方程源于最优控制理论、微分几何、物理学、流体力学等领域，由于使用该方程解决实际问题时，所面临的区域一般比较复杂，界面常常会出现纽结、融入与分离等现象，因此研究其非结构网格数值方法具有重要的理论意义与广泛的应用前景。本项目研究Hamilton-Jacobi方程的高精度非结构网格数值方法，重点讨论基于局部紧致基函数的高精度多项式重构、非结构网格上单调数值Hamilton函数的构造，并运用插值模板的简化选择、网格自适应加密和并行计算等技术来提高计算效率。本项目的研究有助于丰富Hamilton-Jacobi方程非结构网格方法的理论和实际计算效果，为科学和工程计算提供一定的基础性工作。

结论摘要：

非结构网格没有网格节点的结构性限制，易于控制网格单元的大小、形状及网格点位置，具有很强的灵活性，是数值模拟复杂外形问题的有力工具。本项目研究非结构网格的生成、非结构网格上双曲型方程（特别是Hamilton-Jacobi方程）的高精度离散方法和基于非结构网格的自适应计算。通过三年的研究，主要取得以下进展 1、在非结构网格生成方面，详细分析、比较了各类二维Delaunay网格生成过程的约束边恢复步骤，指出它们本质上属于边翻转技术。提出平面扫描算法与相应的数据结构，使进行相交测试的次数减少到实际交点的2倍以内，并且在一次扫描后恢复所有约束边。该算法避开了不必要的相交测试，提高了网格生成的速度和效率。 2、在高精度非结构网格方法的构造方面1）对现有的高分辨率格式进行调研，特别讨论了双曲型守恒律方程的有限体积型WENO方法和DG方法，从精度、计算速度和对奇异的分辨率等方面进行比较，得到了一些有用的结论；2）利用嵌套三角形网格上数值解的小波分解信息选择TVD限制器，构造出求解双曲型守恒律方程的一类满足局部极值原理的自适应多分辨格式；3）考虑标量双曲型守恒律方程，采用时空分离的方法，对三维非结构四面体网格给出了一类满足局部极值原理的三阶精度有限体积格式；4）研究一类特殊的Hamilton-Jacobi方程——符号距离函数重新初始化方程的非结构网格算法，给出运动界面附近的一种局部修正方法，并结合单侧ENO插值将其推广到二阶精度。 3、在多分辨方法与自适应计算方面，1）针对双曲型守恒律方程解的特点，借助嵌套网格上数值解的离散多分辨分析，发展了一种有效的求解双曲型守恒律方程（组）自适应多分辨分析方法。该方法在保持原规则网格方法的精度和分辨率的同时，显著地减少计算所需要的CPU时间。2）将上述自适应多分辨分析方法推广运动界面追踪问题，基于嵌套网格上数值解的插值误差构造了一种简单易行的多尺度水平集方法。 4、在辛几何算法和其它方面，1）构造了非线性Schrodinger方程、Cammassa-Holm方程的辛与多辛小波配点格式，并通过理论分析和数值实验验证了格式的高精度，奇异捕捉能力以及对不变量的保持特性；2）构造了强耦合Schrodinger方程的多辛分裂小波配点格式；3）构造了Zakharov-Kuznetsov方程的显式保结构算法，有效地降低了代数系统的计算复杂度。