中文摘要：

复杂区域和高维问题的高精度方法是本世纪科学计算的两大挑战和主流方向，多区域谱方法/谱元素方法和稀疏网格 (sparse grid) 谱方法则是现实高精度行之有效的途径。二、三维多区域谱方法/谱元素方法从网格单元到整个区域上的各种理论和算法、高维非传统区域和无界区域上的稀疏网格谱方法等都亟待发展、丰富和完善。本项目首先研究四面体、四棱柱、任意凸四边形、任意凸六面体等谱元上的谱逼近的高效算法和最优误差估计。继而研究多区域谱方法/谱元素方法从网格剖分到问题离散到线性方程组求解的新算法及其实现，发展多区域谱方法/谱元素逼近求解格式的稳定性和收敛性等数值分析理论。此外还将发展超立方体上稀疏网格的Legendre 多项式谱方法，建立高维非传统区域和无界区域上的稀疏网格傅立叶或多项式谱方法的快速算法和数值分析理论，探讨稀疏网格谱方法在 Boltzmann 和 Fokker-Planck方程求解中的应用。

结论摘要：

项目组在三角形、四面体、圆盘上新的谱与谱元方法、三角形及任意单纯形上的晶格傅里叶分析与正交多项式、谱与谱元方法总体刚度矩阵条件数估计、及谱方法在计算流体力学和电磁学中的应用等研究上做出了重要研究成果，多篇论文在SIAM J. Numer. Anal., Math. Comput.等国际前沿学术刊物上发表。项目执行期间，积极创造机会进行各种学术交流，邀请了杜强、沈捷、徐源、张智明、袁国兴等国内外知名学者来讲学、指导，参加了同项目相关的一系列国际国内学术会议、展示科研成果。项目组培养了硕士毕业研究生一名，指导硕士、博士研究生三名。