中文摘要：

临界点理论是现代数学的重要研究领域。申请人多年从事临界点理论及其应用研究，发展了下降流不变集方法，将这一方法率先并成功地应用于非线性微分方程理论，获得了一批新结果，解决了几个疑难问题。以前由于方法上的限制，对于椭圆型方程的研究主要集中于正解，研究变号解只有孤立的几个方法，分别适用于非常特殊的情况。申请人在椭圆型方程理论中首先使用的下降流不变集方法是研究椭圆型方程变号解的系统而有效的方法，该方法推进了变号解的研究，不但已经成为研究椭圆型方程变号解的基本方法之一，而且已被应用于抛物型方程和椭圆型方程组，最近被美国和德国等国家的数学家用来研究一类在非线性光学和量子力学中有重要背景的椭圆型方程组的正解，获得重要成果。申请人工作被国际上许多著名数学家引用，著名数学杂志JFA和TAMS上发表的数篇论文认为申请人的工作是开创性工作，美国数学评论认为申请人的文章包含新的强有力的定理。

结论摘要：

本项目获得如下研究成果在非线性项在无穷远处与线性算子的谱可以相交无穷多次的情况，对于具有扭转非线性的椭圆型方程和方程组，证明多个非平凡解的存在性；对于具有一般位势的薛定谔方程，构造出多包型正解；对于指定数曲率型临界指数方程，构造出多层塔型正解；对于与CKN型不等式相关的CKN型方程，构造出多泡型正解；在多个态之间相互吸引的情况下，对于描述非线性光学和波色——爱因斯坦凝聚现象的、由多个方程耦合的薛定谔方程组，证明有一个正的基态；对于由两个方程耦合的方程组，在新的条件下，证明有正的基态；对于一个描述指定数曲率的常微分方程给出了正解的准确个数；对于既具有超临界指数项，又具有Hardy项的椭圆型方程，获得关于其径向解的渐近性和变号性的完整结论；对于一类具有震荡非线性项的椭圆型方程，证明多个变号解的存在性；对于椭圆边值问题，在一定条件下，证明从Fucik谱分歧出二维光滑曲面。这些成果从多个方面展示了非线性分析中的新现象，论文发表于JFA、IUMJ、CVPDE、CCM、PAMS等国际数学期刊。项目执行期间有14位硕士研究生和2位博士研究生毕业。其中一位博士研究生的学位论文被评为2010年北京市优秀博士学位论文，是当年北京市评出的50篇优秀博士学位论文中唯一的数学博士学位论文。在读的有9位硕士研究生和1位博士研究生。项目负责人组织或参加的学术交流活动如下。2009年5月26日到6月1日组织举办“关于非线性椭圆型偏微分方程多解问题的变分与计算方法研究生讲习班”，60多位来自国内各高校和美国的研究生参加了讲习班。2010年5月20日到22日组织举办“非线性分析中变分与拓扑方法国际学术会议”。有60多位中外同行学者参加了会议。于2009年7月和8月访问澳大利亚新英格兰大学数学系和悉尼大学数学系，2010年7月和8月访问犹他州立大学数学系，2011年6月和7月访问加拿大约克大学数学系。邀请二十多位国内外同行来首都师范大学进行学术交流与学术合作。受邀参加16次国际学术会议并作大会报告。