中文摘要：

非线性、非平稳信号的自适应处理是当前信息科学中的核心问题。经典的Fourier分析方法由于无法揭示非线性、非平稳信号的频率随时间而变化的本质，在应用中存在着极大的局限性。相对于传统的Fourier基，非线性Fourier基函数具有非线性的相位，以及有物理意义的、非常值的瞬时频率。同时，非线性Fourier基又是带有参数(单参数或多参数)的、数量众多的一类标准正交基族。以上特点决定着非线性Fourier基更适合于处理非线性、非平稳数据。基于以上原因，本项目将在非线性Fourier基族的基础上，研究数学理论完善的，适用于非线性、非平稳信号处理的，快速、自适应方法-非线性Fourier逼近及其在信号处理领域中的应用，尝试为非线性、非平稳数据处理提供一种新的、有效的方法。

结论摘要：

非线性、非平稳信号的自适应处理是信息科学的核心问题。本项目旨在为非线性、非平稳数据，特别是高维巨量数据提供新的、有效的自适应处理方法。本项目的主要进展如下 首先，我们刻画了一类高维多节点分片线性谱序列，进而构造了信号空间的具有非线性相位的标准正交基，证明了相应非线性 Fourier 级数的 Bochner-Riesz 平均的收敛性。 其次，利用一维单参数非线性 Fourier 基函数的张量积，我们构造了高维多参数非线性 Fourier 基函数，并研究了非线性 Fourier 级数的性质。通过设计稀疏网格、构造多尺度 Lagrange 插值，我们建立了高维稀疏非线性 Fourier 展开的快速算法。此外，通过最优化误差估计完善了算法的自适应性。 最后，为了更好地研究非线性、非平稳信号的自适应处理，我们研究了双 Hilbert 变换，给出了双 Hlibert 变换的若干性质。此外，我们将 Fourier 基函数用于求解非线性积分方程，建立了非线性积分方程的快速 Fourier-Galerkin 方法。