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中文摘要：
本文引入两个概念，即，关于拟三角双代数的cylinder余代数和cylinder余积，并指出存在一个反余代数同构：（H,△^-）≌ （H,△^-），其中（H,△^-）是cylinder余积，（H,△^-）是辫余积．对任意有限维Hopf代数H，我们证明Drinfel’d量子偶（D（H），△D（H）是cylinder余积．设（H，H，R）是余配对Hopf代数，如果R∈Z（H×H），则通过两次扭曲，我们可以构造扭曲余代数（H^r）R^-1，它的余乘法恰是cylinder余积．而且对任意的广义Long重模，通过cylinder扭曲，我们可以构造Yang-Baxter方程，四辫对和Long方程．
英文摘要：
This paper introduces the concepts of cylinder coalgebras and cylinder coproducts for quasitriangular bialgebras, and points out that there exists an anti-coalgebra isomorphism （H,△^-）≌ （H,△^-）, where （H, △^-） is the cylinder coproduct, and （H,△^-） is the braided coproduct given by Kass. For any finite dimensional Hopf algebra H, the Drinfel＇d double （D（H）,△^-D（H）） is proved to be the cylinder coproduct. Let （H, H, R） be copaired Hopf algebras. If R ∈ Z（H×H） with inverse R-1 and skew inverse R, then the twisted coalgebra （H^R）^R-1 is constructed via twice twists, whose comultiplication is exactly the cylinder coproduct. Moreover, for any generalized Long dimodule, some solutions for Yang-Baxter equations, four braid pairs and Long equations are constructed via cylinder twists.
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