中文摘要：

本项目对几类图像处理问题提出新的理论和快速数值方法。研究非光滑二阶正则化方法及其在图像去噪问题中的应用，提出了解LLT模型的半光滑牛顿型方法并证明了其Q-超线性收敛性。对图像去噪问题中带两个L1正则项的极小化问题，分别提出了非线性多重网格方法和新的投影方法。为了减轻图像去噪过程中的阶梯效应或边缘模糊，提出了基于对偶策略的两步模型，并利用增广Lagrange策略，提出了解此模型的投影梯度法。基于LLT图像恢复模型，提出了修正不动点迭代算法，该算法不需计算逆矩阵，从而能加快收敛并减少舍入误差。此外，还提出了求解图像恢复问题的本原-对偶有效集算法、基于分裂Bregman迭代的投影方法及基于修改LOT模型的分裂Bregman迭代方法。并给出了上述所有方法的收敛性分析。研究图像放大的非局部全变差正则化技术，提出了相应的分裂Bregman迭代算法。利用对偶策略、LOT模型、TV-Stokes模型及分裂Bregman迭代，提出了两种用于图像放大的两步方法。并给出了上述几种方法的收敛性分析。利用TV-Allen-Cahn方程，提出了求解图像分割问题的改进的对偶算法，数值实验结果验证了算法的有效性。