中文摘要：

在数值逼近，几何造型，工程计算等领域中，样条是一种普遍适用的方法。这些领域的研究给多元样条方法的理论提出了新的问题。例如对标准的NURBS方法引入局部修改算法以突破矩形网格的限制，完善新近提出的T样条方法的理论基础，改进有限元方法中传统等参单元对于不规则网格只有低阶完备性，精度降低的缺点等。对这些问题的分析并结合多元样条方法，我们发现基于多边形网格的异度样条方法具有很好的适用性并能得到满意的计算结果，但现有的研究明显不足。与之相关的多元样条理论研究的主要问题和难点在于分析样条空间维数的奇异性和具有局部支集基函数的构造。本项目将从样条空间的维数稳定性，显式维数公式，基函数构造，样条插值等问题入手，对多边形网格上的异度样条的理论展开系统研究。并基于这些理论结果，研究其在数值逼近，曲面造型，有限元方法中的应用。着重讨论和解决上述应用领域的问题，完善结果，逐步形成系统的基于多边形网格的样条方法。

结论摘要：

本项目围绕“基于多边形网格的异度样条研究”开展研究工作，主要问题是关于多边形网格（包括四边形网格，三维空间网格，T网格等）上异度样条空间的理论及应用研究。分别在多元样条空间的维数与基函数，样条有限元方法，样条小波方法，样条逼近，曲线曲面造型的样条方法等方面取得了一系列研究成果。 在理论研究方面，针对多元样条理论的两个核心难点问题，空间维数与基函数，我们讨论了一般样条空间维数的稳定性，并得到了一些新的维数结果，所获得的维数公式不仅依赖于样条函数的次数和光滑度，还依赖于剖分的一些几何结构信息，改进了一些剖分上的维数结果；对一些定义在多边形剖分上样条空间维数的奇异性进行了进一步的研究，得到了样条空间维数发生奇异性的特征和条件；并对一些特殊剖分上的异度样条空间构造了具有局部支集的样条基函数。 在应用研究方面，我们进一步深入开展了高精度样条有限元的研究，构造了具有2次精度的三维空间六面体单元和金字塔单元；针对非凸的四边形单元构造了具有2次精度的8节点单元和3次精度的12节点单元，克服了传统等参单元不适用于非凸四边形单元而且精度会受到网格畸变影响的缺点；对薄板弯曲问题，构造了具有2次精度的12个自由度的四边形薄板样条单元；在样条曲线曲面造型中，将样条方法与极小曲面问题相结合，讨论了拟Plateau问题，即如何在满足整个或部分边界的定义在矩形域的所有参数曲面中找到面积最小的曲面。 到2013年底统计，共发表论文12篇，其中SCI检索9篇，EI检索9篇，ISTP检索1篇。培养1名博士研究生，3名硕士研究生。负责人受邀参加2013年中国数学会年会并作分组报告，项目组成员先后6人次参加国内外学术会议并作报告。负责人于2011年入选辽宁省“百千万人才工程”千人层次。