中文摘要：

拓扑吸引子是动力系统中的重要概念，它被认为是动力系统中的一个比较好的"块"。人们已经知道拓扑吸引子的存在性不是一个通有性质。但是在一定条件下（例如在双曲的条件下），人们确实可以得到拓扑吸引子的存在性、有限性以及其他一些性质。同宿切是一类重要的半局部分支现象，同时同宿切确不是持续非双曲系统的典型代表。由于双曲系统已经被很好地研究，人们开始将视野转向持续非双曲系统。对于远离同宿切的持续非双曲系统，人们对拓扑吸引子的结论还知之甚少。本项目将着重研究远离同宿切的通有动力系统的拓扑吸引子的存在性、有限性以及物理测度的存在性等动力系统中的基本问题。

结论摘要：

动力系统的研究目标就是刻画长时间的演化规律。然而由于其复杂性，人们转而去考虑多数系统的演化规律。为了清楚地了解系统的演化规律，人们往往需要来研究这个系统的不变集合。在不变集合中又有一些尤其引起了数学家的关注，比如链回复类、李雅普诺夫稳定的集合、以及拓扑吸引子等等。 如果这些集合是双曲或者是部分双曲的的，往往我们可以对其上的动力学行为描述得非常清楚。著名数学家帕里斯曾经猜测远离同宿切和异维环的通有微分同胚是双曲的。这个问题已经取得了很多进展，但是仍然没有完全解决。在此基金资助下，通过与人合作，我们证明了每个远离同宿切的通有微分同胚（即允许异维环的存在性）都是部分双曲的。特别地，一个远离同宿切的微分同胚的非平凡的李雅普诺夫稳定的链回复类是具有一个强不稳定子丛的。 由光滑向量场生成的流的动力学是微分动力系统中的一个重要研究课题。相对于离散的微分同胚而言，奇点的存在性往往使得向量场的研究变得更加的困难。在此项目的资助下，通过与人合作，我们构造了一个四维向量场的例子，使得这个四维向量场具有一个持续链传递的吸引子，并且这个吸引子中含有不同指标的奇点。这个例子说明了奇异双曲型的吸引子之外，一个向量场的吸引子可能具有非常高的复杂性。 Lorenz型的吸引子被数学家们用奇异双曲性来刻画。帕里斯的一个猜测是一个三维的向量场或者可以被具有同宿切的向量场逼近；或者可以被具有整体奇异双曲结构的向量场逼近。帕里斯的猜想促使我们来研究在什么条件下，我们可以得到奇异双曲性。对于三维向量场来说，一个具有奇点的非平凡的链回复类往往具有李雅普诺夫稳定性。通过与人合作，利用李雅普诺夫稳定性，我们证明了如果整个链回复类上具有切流的控制分解，则含有奇点的链回复类是一个奇异双曲的吸引子或者排斥子。