中文摘要：

函数空间上的Toeplitz算子理论及斜Toeplitz算子理论因为与数学自身理论发展的紧密联系及在控制理论、量子力学、小波分析等方面的广泛应用而成为算子理论的热门研究方向。随着函数空间理论的发展， Toeplitz算子及斜Toeplitz算子已被推广到各种函数空间上并得到了深入的研究。本项目主要对Toeplitz算子及斜Toeplitz算子的代数问题展开研究1、运用空间理论和函数论充分刻画单位圆盘的Bergman空间上与带有调和符号的Toeplitz算子(本性)可交换的Toeplitz算子的性质；2、运用多重Fourier级数、Mellin变换和函数论对与带有多重调和符号的多变量Toeplitz算子可交换的Toeplitz算子的性质给出充分描述；3、运用Berezin变换和函数论等理论对勒贝格空间及Bergman空间上的斜Toeplitz算子的交换性、本性交换性、谱等性质给予充分刻画。

结论摘要：

Toeplitz 算子及斜Toeplitz 算子是函数空间上两类重要的算子。由于与数学自身理论发展的紧密联系及在控制理论、量子力学、小波分析等方面的广泛应用，这两类算子成为算子理论的热门研究方向，吸引了众多学者的关注。随着函数空间理论的发展，人们对这两类算子进行了深入的研究，取得了大量重要的成果。但到目前为止，对这两类算子还有许多重要的问题没有得到解决。本项目主要对Toeplitz算子及斜Toeplitz算子的交换性、乘积等代数问题展开了研究，研究工作的进展情况如下 1、利用函数论及算子理论研究了单位圆周的勒贝格空间上斜Toeplitz算子的性质, 得到了两个带有解析符号、共轭解析符号或调和多项式符号的k阶斜Toeplitz算子可交换的充要条件及其乘积为零的充要条件；此外，给出了两个不同阶的斜Toeplitz算子（本性）可交换的充要条件以及其乘积紧的充要条件，特别地，给出了两个不同阶的斜Toeplitz算子的交换性和本性交换性是一致的。 2、利用函数论研究了单位圆盘的Bergman空间上斜Toeplitz算子的性质，得到了两个带有特殊符号(解析符号、共轭解析符号或调和多项式符号)的k阶斜Toeplitz算子可交换的充要条件。 3、利用函数论、空间理论及Mellin变换等理论研究了单位圆盘（多圆盘）的Bergman空间上与带有调和符号（多重调和符号）的Toeplitz算子可交换的Toeplitz算子的性质。 由于对径向函数及Mellin变换缺少更深入的了解，目前仅给出了以特殊函数为符号的Toeplitz算子的刻画。今后我们将继续进行该方面的研究，并将所得研究成果标注为受到该项目的资助。