中文摘要：

本课题基于一族平行线上的散乱数据，研究带参数的二元有理样条的构造以及有理插值曲面的形状控制问题。主要研究散乱数据在三角剖分下，二元有理插值函数表示的理论与方法、带参数的插值曲面的光滑性条件以及插值曲面的形状约束与控制方法等。本项目的研究，一方面将在进一步扩展矩形网格上有理插值曲面显式表示的理论和方法的基础上，填补三角剖分下二元有理插值样条简洁显式表示的空白；另一方面，给出的插值曲面的形状约束和控制方法，可以通过参数的代数不等式或代数方程进行约束和控制而实现，简便易行；给出的二元有理插值方法对促进插值样条的发展和计算机辅助几何设计，具有重要的理论意义与应用价值。

结论摘要：

曲线曲面的造型与控制是计算机辅助设计的中心议题，插值方法是表示和逼近几何对象的基本工具之一，基于散乱数据在三角剖分下曲面构造的二元插值更是近些年来研究的难点和热点问题。现代工程设计常常要求插值曲面既要有简洁的显示表示，还要在给定的插值数据不变的情况下能根据实际需要进行曲面的形状修改。 本课题在对带参数的一元有理插值样条研究的基础上，构造了基于平行线上的散乱数据在三角剖分下的二元有理插值样条，它们既有显式的表示，又可以利用参数的调整进行曲线曲面形状的修改，并通过实例验证了这种方法的有效性和可靠性。在本课题研究的同时，我们发现了二元有理插值基的构造方法，并将我们前期研究工作中已经发展的曲线曲面约束控制技术成功地应用于三角曲面片的局部控制及整体形状约束中，为我们的研究开辟了新的研究思路和途径。本课题的研究已在国内外重要学术期刊发表论文10篇，另有5篇正在审稿中，这些将有超过10篇被SCI、EI收录。 本项研究的科学意义在于给出的基于散乱数据的二元有理插值的显示表示及曲线曲面的参数约束控制技术是方法的创新, 是对插值理论的丰富，在计算机辅助几何设计中将有重要应用。