中文摘要：

Pythagorean-hodograph（PH）曲线是一个重要的几何造型工具，在数控加工、道路设计等领域已得到广泛应用。其有理三维表示，即有理空间PH曲线，在造型上要比其多项式表示更具多样性和灵活性。但有理空间PH曲线的几何造型问题至今仍未得到很好的解决。目前只有一种基于包络技术的构造方法，但该方法并不便于用户交互式地对曲线进行设计和造型。因此，本项目拟从有理空间PH曲线的构造、优化和工程应用这三个方面展开研究。基于控制网格技术，研究它的几何构造法及相应的Hermite插值问题；利用球极投影等技术，来研究球面曲线等特殊曲线的构造和性质；基于重新参数化思想，利用M?bius变换来优化它的参数分布；最后通过研究它的代数几何性质，挖掘它在复杂道路设计和三维数控加工等工业生产中的应用。本项目的研究内容具有前沿性，预期研究成果不仅能带来一定的经济效益，对完备PH曲线理论体系也具有重要的推动作用。

结论摘要：

毕达哥拉斯速端(Pythagorean-hodograph,PH) 曲线已被广泛应用于解决各类实际问题, 尤其在计算机数控机床的高速铣削加工、高速公路的设计以及机器人运动轨迹的生成等方面有着重要的应用价值。从曲线的表示方式来看，有理PH曲线在代数结构上比多项式PH曲线复杂, 但在曲线表示上更为灵活, 符合工业产品设计标准。而本项目所着重研究的有理空间PH曲线是由美国学者Farouki等人于2011年首次提出, 并给出了一个基于包络技术的几何构造方法。对于工业产品设计人员来说，该几何构造方法并不适用。经典的控制网格技术在产品设计上有较大的灵活性和易操作性。我们通过比较有理空间PH曲线在代数几何性质上与多项式空间PH曲线的差异, 着重挖掘有理空间PH曲线的优势所在。 从项目的研究内容来讲, 我们主要做了以下几方面 1. 研究了有理低次PH曲线的控制网格构造技术及其Hermite插值技术。给出了控制网格边长、夹角和权因子满足PH性质时的约束条件。 2. 研究了球面PH曲线的构造方法。给定一条设计好的平面PH曲线，通过球极投影能保持PH性的性质，构造出球面PH曲线。并基于能量函数，利用Moubis变换，给出了球面PH曲线的最优表示方法。 3. 利用低次有理空间PH样条，在约束条件下去逼近高次曲线，并给出了其在道路设计中的应用。 本项目的完成促进了有理空间PH曲线这个崭新的数学模型在我国现代制造工业中的应用和普及, 为CAD造型系统提供新工具和理论储备。