中文摘要：

本项目主要研究分圆赫克代数以及分圆q-舒尔代数的Z分次表示理论。内容包括用分圆Ariki-Koike赫克代数上的Khovanov-Lauda-Rouquier分次研究关于这些代数单模的特征标在e=0时与基域特征无关的Kleshchev-Ram猜想；分圆Ariki-Koike赫克代数的Z分次拟遗传覆盖代数（即Z分次分圆舒尔代数）的构造及Kleshchev-Ram猜想的相应版本；分圆Ariki-Koike赫克代数的分次Cartan矩阵的行列式的计算；分圆Hecke-Clifford代数上的Z分次结构的构造及与A_2l^{(2)}型或D_l^{(2)}型的箭图赫克代数的比较；以及当基域任意而参数q为未定元时分圆Ariki-Koike赫克代数与A型量子群的抛物范畴O之间的高水平Schur-Weyl对偶。

结论摘要：

Z分次表示目前是表示理论与李理论最前沿的研究方向之一，它在量子群的范畴化、扭结不变量以及数学物理等领域中都有重要的应用。它的快速发展给许多困难的经典数学问题的解决提供了崭新的视角。目前许多重要的代数（包括G(r,1,n)型的分圆Hecke代数、Brauer代数及Temperley-Lieb代数等）都发现了其上非平凡的Z分次结构以及丰富的Z分次表示理论。本项目的研究内容包括A型分圆箭图Hecke代数的Z分次表示、G(r,p,n)型分圆Hecke代数的分解数、Brauer代数与BMW代数以及Weyl群中对合张成空间上的Hecke模结构等。重要结果包括与Mathas合作，证明了Brundan，Kleshchev与王伟强提出的关于G(r,1,n)型分圆Hecke代数的诱导Specht模的Z分次Specht滤过的猜想；我们建立了A型分圆箭图Hecke代数上的KLR-Z分次与经典的半单表示的Young半正规形式之间的联系，得到了半单Specht模的Gram行列式的整公式，给出了A型分圆箭图Hecke代数的一些x-变形；给出了当e=0或e>n时A型分圆箭图Hecke代数的Z分次拟遗传覆盖，证明了它们是拟遗传的Z分次胞腔代数，并证明了当e=0且基域特征为0时A型分圆箭图Hecke代数上的KLR-Z分次与BGG抛物范畴O诱导的Koszul Z分次吻合，给出了相同假设下A型分圆箭图Schur代数的Z分次分解数计算的Lascoux-Leclerc-Thibon组合算法；系统研究了具有(\epsilon,q)可分的分圆参数的G(r,p,n)型分圆Hecke代数的模表示理论，证明了这些代数的分解数完全被一些相关的G(s,1,m)型的分圆Hecke代数的分解数以及它们的Schur元素所决定。与张静合作，把Matsumoto关于Weyl群中既约表达式之间的辫子变换的经典结果推广到了典型Weyl群中对合的扭既约表达式之间的辫子变换，并由此证明了Lusztig关于对称群中对合张成空间上的Hecke模结构的生成元猜想成立。与肖占魁合作，证明了Lehrer-张关于正交张量空间在Brauer代数中的零化子的生成元的猜想。