中文摘要：

本课题研究二维或三维N-S低次等阶元新稳定有限体积算法。此算法选元方便简单，适合多层并行；使用局部高斯积分稳定化方法进行稳定，简单高效，不需稳定化参数；根据流体特点选择有限体积方法进行逼近，使得其保持局部守恒性质。尽管新稳定有限体积方法保持好的物理性质，但有限体积方法基于Petrol-Galerkin方法，且不可压缩流问题三线性项的不对称性和复杂性使得其理论尚待完善。本课题利用有限元方法和有限体积方法的等价性，以及残差型及加权误差分析等技巧，解决定常Stokes问题的自适应有限体积方法收敛性分析、定常N-S方程的有限体积方法关于速度 L2等误差分析、含有非奇异解束问题理论分析及非定常N-S方程的优化误差分析。完善构造关于不可压缩流问题新稳定有限体积方法，使得其数值求解既能保持物理性质，又能从数值方法理论角度解释，并简单高效地求解问题。从而使得数学、物理以及数值模得到更为有机的结合。

结论摘要：

对于流体问题，有限体积方法是最吸引人的方法之一。它既可以像有限元那样处理复杂的边界，又可以优于有限元方法保持局部守恒性质。有限体积方法虽然保持好的守恒性质，但在理论分析上具有很多的难点。对于非线性不可压缩问题，由于三线性项的复杂性且不再满足有限元方法下的反对称性、Petrov-Galerkin方法的不对称性以及有限体积与有限元试验函数之间仅具有O(h)阶误差精度，使得非线性问题理论上存在很多难点。特别对于不可压缩流Navier-Stokes方程，相关优化阶的理论分析仍然没有得到突破。 我们基于有限元方法与有限体积方法等价性，得到了关于一系列有限体积方法新的结果（1）在不提高速度和压力正则性前提下，得到了关于不可压缩流有限元解与有限体积方法解超逼近结果；（2）给出定常问题非奇异解束的优化阶理论；（3）给出非定常不可压缩流Navier-Stokes方程优化阶的理论分析结果；（4）利用残差型及加权误差分析技巧给出了关于速度的优化L2误差分析，关于速度梯度和压力去掉以往带|log h|因子的优化L∞估计；（5）关于不可压缩流问题自适应有限体积方法收敛性及优化复杂性分析。