中文摘要：

随着集成电路（IC）中特征尺寸不断缩小，工艺引起的互连线外形尺寸和材料特性的随机性极大地影响了通过电磁场分析提取寄生参数的结果，成为迫切待解的重要议题。现有电磁场计算方法只能通过经验性系数或最差情况进行近似处理不确定模型，留下过多设计余量。考虑随机因素的随机有限元法在电磁场计算领域则刚有所开展，存在研究不系统深入、只简单照搬其在力学计算中的实施过程等问题，尤其在IC互连线寄生参数提取方面，因其复杂性，鲜有相关研究且仅能简单处理材料特性随机性，不能处理几何尺寸变异。本课题计划重点研究随机有限元法在电磁场数值计算方面的理论推导和实施过程中各环节的技术问题，用该方法解决IC互连线寄生参数提取中涉及材料特征、几何尺寸的随机性问题，从而全面系统地给出运用有限元法解决电磁随机问题的新思路，并达到计算高效、普遍适用的实用性高度。本课题的研究与结论可应用到考虑变异、摄动和不确定性的各种电磁计算场合。

结论摘要：

本课题基于有限元法分析电磁场相关的随机性问题，其主要应用领域是集成电路中电路参数的提取。课题重点研究了集成电路加工工艺中材料特性、几何尺寸的变异对于电路参数提取结果的影响。集成电路的介质材料具有两种随机性，其一是介质材料本身均匀分布，即内部整体保持恒定，但是对外表现出随机性；其二是介质材料内部存在一定的分布特征。本课题针对介质材料的随机性，推导完善了随机有限元的实施过程，包括针对目标随机场的特性是均匀分布、正态分布、对数正态分布场，采用K-L（卡亨南-洛维）以及OS（正交级数）展开方法对随机场进行离散；用Neumann展开法确定控制方程；从相关的电磁问题出发对SSFEM（谱随机有限元法）的原理和实现进行推导、实施，即谱有限元与矩阵方程的建立；对随机矩阵方程求解过程进行了优化；做了误差分析；并采用基于通用计算GPU加速求解规模较大的随机有限元方程做了研究等。集成电路互连导线边界外形常有两种随机情况，一是分析真实测量所得的外形结构或者通过抽样模拟所得的外形结构，即起伏不平；二是分析平均意义上的外形尺寸变化，即近似沿着外表面呈线性或可用某确定方程式描述的变化。本课题针对导线几何尺寸的变异，利用一阶、二阶几何尺寸敏感度建立相应的近似随机模型，以分析几何尺寸的随机性影响。分别用有限元直接求导的方法和伴随变量方法推导求解了一阶、二阶敏感度；对于求解有限元导数所要求解的多右端方程的加速求解进行了研究；建立并修正了随机矩阵的谱分析法对于几何尺寸随机性分析的理论方法等。本项目开创性地提出用伴随方法求解二阶敏感度，二阶敏感度的计算复杂度与直接求导的一阶敏感度类似，与设计参数的数量成正比，这对于二阶敏感度的工程实际应用而言，意义重大。本课题按照研究计划完成了相关研究工作，在集成电路互连寄生提取领域取得一定成果，达到了项目预期目标。已经发表论文8篇（含1篇已被录用文章），申请专利1项。