中文摘要：

在数字通信领域中，对数字信息进行纠错编码是提高通信可靠性的重要手段。本课题研究的图上的纠错码则是纠错码研究中备受关注的主流方向。申请者拟从理论上对图上的纠错码的高纠错性能作出合理解释，探讨构造高效快速的译码算法，并以正规图为基础来构造更一般的高纠错性能纠错码，改善优化已有的译码算法使其计算复杂度降低到实用化程度。

结论摘要：

在数字通信领域中，对数字信息进行纠错编码是提高通信可靠性的重要手段。本课题研究的图上的纠错码则是纠错码研究中备受关注的主流方向，它包括著名的LDPC码。我们从理论上对图上的纠错码的高纠错性能做出了合理的解释，探讨构造了高效快速的译码算法，并以正规图为基础来构造了更一般的高纠错性能纠错码，改善优化已有的译码算法使其计算复杂度降低。我们证明了任何一个基于可靠性顺序的译码算法，只要它的平方纠错半径达到最大值，则它一定是渐近最优的。我们给出了一个一致的方法来确定一类源于完全非线性函数的指数和值分布。还给出了一类线性码的重量分布。对于Chase-型译码算法，当搜索中心的非零分量全部集中在不可靠的位置时，我们给出了达到限界距离译码的搜索中心的最小数目的一个上界和下界。我们在本项目资助下一共完成研究论文8篇，其中两篇发表在信息科学领域内的国际顶尖学术期刊IEEE Transactions on Information Theory, 它们同时被SCI和EI检索，另有两篇已被国内核心期刊录用。我们还在本项目资助下连续举办了三次通信与数学暑期学校，邀请了十几位国内外专家授课，听众合计200余人。