中文摘要：

奇异摄动问题，例如四阶奇异摄动问题、带有边界层的对流扩散问题、奇异摄动Darcy-Stokes问题等，是物理工程、流体力学、化学力学等研究领域的一类重要问题。其特点是，真解往往会在求解区域的子区域或某个方向变化剧烈，即表现出各向异性特征。此时，计算中网格只需在相应的子区域或沿一定方向加密，并不需要对所有网格加密。因此采用有限元法解决此类问题通常需要根据解的奇性特征进行网格剖分，进行自适应有限元计算。后验误差估计与通常的先验误差估计不同，是一个可计算的量，能提供网格应如何局部加密或放疏的信息，使网格得到优化，为自适应有限元提供理论基础。目前，关于有限元后验误差估计的研究大多是在网格满足正则性条件下给出的。本项目致力于研究各向异性网格下奇异摄动问题的有限元后验误差估计，使后验误差估计子更好地适应奇异摄动问题解的性态，以更好地应用自适应有限元。

结论摘要：

奇异摄动问题是物理工程、流体力学、化学力学等研究领域的一类重要问题。其特点是，真解往往会在求解区域的子区域或某个方向变化剧烈，即表现出各向异性特征。采用有限元法解决此类问题通常需要根据解的奇性特征进行网格剖分，进行自适应有限元计算。后验误差估计与通常的先验误差估计不同，是一个可计算的量，能提供网格应如何局部加密或放疏的信息，使网格得到优化，为自适应有限元提供理论基础。本项目致力于研究各向异性网格下奇异摄动问题的有限元后验误差估计，使后验误差估计子更好地适应奇异摄动问题解的性态，以更好地应用自适应有限元。我们克服了常见的有限元单元对Darcy-Stokes奇异摄动问题不一致收敛的困难，构造出新的对奇异摄动系数一致收敛的非协调元，后验误差数值结果与理论分析相吻合。构造了一个新的矩形非协调元，该单元满足离散的第二Korn不等式，对于纯应力边界条件下弹性方程是无闭锁的。提出了一个双参数13参四边形板元，证明了该元的收敛性，并给出算例加以验证。构造了二维四阶椭圆问题的三个非协调单元，证明其收敛性。