中文摘要：

本项目考虑Takagi函数，拟研究其图像的整体性质和局部结构(包含水平集与局部水平集)。Takagi函数是一个著名的Weierstrass型分形函数——连续而处处不可微，它是分形几何、小波分析、Fourier分析和函数论自然结合的产物，它在这些相关学科显示的重要性要求人们对其有更深刻的认识。因为函数的很多性质能够通过其图像反映出来，所以本项目拟通过了解图像的性质来认识Takagi函数。但这方面的研究目前还没有系统和行之有效的方法，它是一个基本而非常困难的问题，因此对其进行研究就显得非常迫切和必要了。本项目拟采用分形理论中的基本工具(如迭代函数系、Moran集、符号空间等)，结合组合理论、Schauder方程、Fourier变换和加细方程，运用重分形分析、简单测度卷积列逼近、某些新的数论等方法研究上述问题。本项目的研究有助于人们进一步认识Takagi函数，从而促进分形函数的研究和发展。

结论摘要：

本项目按申请计划如期进行，研究了Takagi函数局部水平集的推广——LM局部集的几何性质。采用分形理论中的迭代函数系、Moran集、符号空间等基本手段，结合组合理论等方法，给出了[0,1]区间内的任意一点所对应的LM局部集的Hausdorff维数，证明了LM局部集的Hausdorff维数大于零的点构成的集合的Hausdorff维数为1。这也确定了Takagi函数所有局部水平集的Hausdorff维数。本项目结果有助于人们进一步认识Takagi函数。