中文摘要：

深入研究辛几何算法理论方面的一些难点问题，形式能量的收敛性；构造高阶辛算法实现对非线性Schrodinger方程复杂孤立子运动的数值模拟；推广亮孤立子情况下非线性Schrodinger方程的不变量到暗孤立子的情况，并试着给出数值验证。

结论摘要：

非线性Schrodinger方程（NLSE）是一类非常重要的非线性方程，所描述的系统在几何结构上是一个无穷维的Hamilton系统，那么保持Hamiton系统固有典则结构的辛几何算法应该是用于解NLSE的最佳选择。本课题主要针对NLSE写成一个可分的Hamiltonian系统，通过复合相应的相流构造出原Hamilton系统的低阶和高阶显式辛格式。针对不同的孤立子运动情形进行数值模拟，对比的实验结果表明显式辛格式成功模拟不同情况的孤立子运动，并保持原连续系统不变量，且其本身的形式能量收敛。并且把不变量推广到暗孤立子和周期孤立子的情形，理论上证明了其不变性。我们还构造多辛格式来求解耦合Schrodinger-Boussinesq方程（CSBE），结果表明多辛格式具有较好的数值拟合效果，与理论分析一致，而关于多辛格式也保持守恒律稳定，这也与理论分析一致。实验与理论分析表明辛格式具有较高的精确性，且具有非辛格式无可比拟的优越性，这主要表现在长期跟踪能力，保持原Hamilton系统的不变量到很小的误差，并保持原系统的整体结构和拓扑结构。可以把辛算法推广到求解其他复杂情况的非线性Schrodinger方程（组），如带局部杂质的暗孤立子运动、周期孤立子运动或其它动力系统，而且辛格式还为检验一些较快但不是很精确的方法所得的结果是否准确提供了一种安全的方式。