中文摘要：

自适应有限元方法是一种非常有效的数值计算方法，尤其是在计算复杂的实际工程问题和非线性问题中，它有着不可估量的优势, 在理论上已证明该方法解偏微分方程是一种最优化的方法。 基于自适应有限元方法的多重网格法有待进一步研究， 我们将研究自适应间断Galerkin方法的离散问题以及时谐Maxwell方程自适应有限元离散代数系统的多重网格法，建立此类问题自适应多重网格法严格的数学理论，并从数值实验上来验证此方法的有效性。

结论摘要：

多重网格或多水平方法已成为求解椭圆边值问题最行之有效的方法之一. 本项目首先研究了二阶椭圆问题自适应间断Galerkin有限元法的局部多水平方法, 对光滑系数问题, 我们证明了此多水平方法的收敛率不依赖于网格步长和网格层数; 对间断系数情形, 我们证明了此算法是拟最优的, 即收敛率仅仅依赖于网格层数. 进一步,我们构造和分析了自适应有限元方法离散时谐Maxwell方程的局部多水平方法, 利用 Schwarz 框架, 在粗网格足够细的情况下, 证明了此算法是最优的. 对更困难的Helmholtz 方程, 我们也构造了一些有效的快速解法器.