中文摘要：

本项目主要研究亚纯函数在其Julia集上的热力形式及其刻画亚纯函数的值分布论中的若干问题。亚纯函数的热力形式的研究主要是确立位移算子，拓扑压函数，共形测度，不变Gibbs测度，平衡状态，最大化测度，各类维数，如Hausdorff维数，Packing维数以及相应的测度，几何测度等。我们将在球面上双曲亚纯函数已取得成果上进一步研究双曲亚纯函数的热力形式，主要致力于抛物亚纯函数，几何有限亚纯函数及非回归亚纯函数的热力形式的研究，并研究一般亚纯函数的共形测度，不变测度及维数。发展在亚纯函数值分布论中的位势论，并借助位势论来研究亚纯函数的值分布，将涉及亚纯曲线的值分布，研究亚纯函数的奇异方向及各类新的亏量。

结论摘要：

超越亚纯函数的动力系统主要研究亚纯函数迭代下等度连续意义的稳定性与非稳定性，所有的非稳定点构成之集称为Julia集。亚纯函数在其Julia集上的动力性态是重要的研究方面，可测动力学是令人注目中的一个，如Julia集的维数以及其上与维数相关的测度等。本项目主要研究亚纯函数的热力形式的各个方面，如位移算子、压函数、共形测度、不变Gibbs测度及Hausdorff维数等。我们进一步完善了球面上的双曲亚纯函数的热动力形式，建立了抛物亚纯函数的非原子的共形测度以及相应的等价的不变测度的存在性，确定了共形测度的指数正好是Julia集的Hausdorff维数。这些方法也应用到了几何有限的亚纯函数上，形成一个基本的方法。确立有限性亚纯函数以及B类的无穷点不是奇异点的亚纯函数的共形测度的存在性，并指出亚纯函数虽然具有共形测度，但可以所有的共形测度都是原子的。发展Peter Walters理论，确定了一定覆盖条件下的连续函数的不变Gibbs测度的存在性。这些工作完善或补充了亚纯函数的动力系统的研究，具有科学意义和学术价值的。本项目还要研究亚纯函数的值分布中的问题，如奇异方向和亏量等。我们利用位势理论建立了全纯曲线在角域上的三大特征的基本定理，由此开创了全纯曲线在角域上的值分布的研究，我们确定了Borel方向、T方向的存在性，在角域上的唯一性，具有射线分布超平面的全纯曲线的增长性等。研究了单位圆盘上和平面上的代数体函数的值分布，T方向、T点的存在性以及具有射线分布值的代数体函数的增长性。