中文摘要：

梁和板的非线性振动是工程和应用数学领域的一个重要课题，考虑非线性材料的振动是非线性振动方向一个重要的研究内容。一般真实材料都具有材料非线性，材料的非线性因素对振动响应、分岔等有极大的影响，考虑材料的非线性对振动的影响将改进我们对非线性振动及其分岔的认识。为此，本项目将首先建立由一类典型的非线性材料即各向同性非线性超弹性材料所构成的二维矩形层和三维方柱的动力学模型，其中还要分别考虑可压缩和不可压缩的超弹性材料，用摄动方法得到模型方程的近似解析解，从而显式得揭示出材料的非线性和振动响应、分岔之间的关系。本项目的前期研究已取得一定进展，其最终研究成果将极大的扩展现有的研究方法，丰富研究手段，对国民经济建设中非线性振动在工程中的应用具有重要的理论意义和广泛的应用价值。

结论摘要：

我们从如下三个方面对本项目进行了研究 (1) 非线性超弹性矩形层两端受压下的一次和二次分岔。对于二维非线性超弹性矩形层，我们使用组合的级数渐进展开方法推导出模型方程。由线性分岔分析得到了临界应力，这和已知的结论是吻合的。由非线性分岔分析，我们得到了一次分岔后的显式的渐进解析解。而且也得到了后屈曲幅值的解析表达式。我们首次通过比较渐进解析解和场方程的数值解，说明了这个方法是非线性弹性力学中的一个研究后屈曲问题的有效方法。这也为我们之后将此方法用于研究非线性弹性力学中的其他问题提供了一个方法。另外，在非线性弹性力学场方程（包含几何和材料非线性）的框架下，关于二次分岔的研究很少，而我们在这个框架下，得到了确定二次分岔临界应力的方法。 (2) 非线性超弹性管两端受压下的分岔。我们依然是使用组合的级数渐进展开方法来研究非线性超弹性管在受压下的分岔。我们发现在内外半径确定的情形下，临界应力有一个一致的下界，而与管的细长度无关。而且我们发现，在出现单模分岔时，分岔是一个超临界草叉分岔；而在出现双模分岔时，分岔是一个“八爪鱼”分岔，即在分岔点附近有八个分岔分支，四个超临界分岔分支，四个亚临界分岔分支，而这正是缺陷敏感的机制。而且我们还发现在后屈曲的分支上，厚壁管可能会比薄壁管还要“软”，这个性质在将圆管设计为能量吸收器时会比较有用。 (3) 二维超弹性矩形层的动力学建模。我们将组合的级数渐进展开方法用于研究二维非线性弹性矩形层的动力学问题。目前我们已经得到了模型方程，即两个耦合的非线性偏微分方程。模型方程中出现了代表材料非线性的参数，当这些参数为零时，我们就得到了经典的仅仅考虑了几何非线性的二维矩形层的动力学模型方程，而在这某种程度上表明我们的模型方程是和经典的动力学模型方程是吻合的。有关这个模型方程进一步的研究正在紧张的进行中，有关结论也将尽快形成文章发表。综合以上，项目主持人与合作者目前已发表2篇SCI文章，更多结论和结果正在整理，项目组成员参加了第十三届（第十四界）全国非线性振动暨第十届（第十一届）全国非线性动力学和运动稳定性学术会议、第九届全国动力学与控制学术会议并做分组报告，参加在香港召开的“材料的数学与力学模型”国际会议并在会上做邀请报告，并在戴辉晖教授的邀请下三次访问香港城市大学。