中文摘要：

华罗庚先生在20世纪40年代开创了矩阵几何的研究，矩阵几何基本问题是如何利用尽可能少的几何不变量刻画矩阵代数或矩阵空间之间的Motion群。受此启发，我们将这一问题拓广到一般的算子空间或算子代数上，进而提出一般性保持问题如何用尽可能少的几何或代数不变量刻画算子代数或算子空间之间的映射。本项目获得如下结果分别在标准算子代数和C*-代数上获得保持算子对按照因子交换的可加映射的结构，而算子对按照因子的交换性最近已成为量子群研究的主题；以幂等元集合和算子本质谱作为代数不变量，在基本算子代数上分别刻画了保幂等的非线性映射及保本性谱函数的线性映射；以算子乘积的k-数值半径、ky Fan-k 范数、Shatten-p范数等为几何不变量，刻画了基本算子代数上非线性映射的结构；在不定度规空间算子代数上，获得以与Jordan*-导子相近的某种关系为代数不变量的线性映射结构；获得基本算子代数上Drazin可逆可加映射的刻画。也探讨了C*-代数和Lie C*-代数上同态和导子的广义Hyers-Ulam稳定性问题。