中文摘要：

本项目的研究包括两个部分。第一部分建立Lagrange反演公式的各种差商形式。（1）利用差商的良好性质，给出差商形式的Lagrange反演公式。（2）由多元函数的混合偏差商建立多元Lagrange反演公式的差商形式。（3）构造差商算子的q模拟—q差商算子，并在此基础上获得Lagrange反演公式的q-差商形式。第二部分研究上述得到的结果在组合q模拟中的应用。（1）拟研究Pfaff/Cauchy导数恒等式的q模拟。（2）Bell多项式、Bernouli数以及Stirling数的q模拟问题。本项目的研究可以使数值代数与代数组合学两个方向充分交叉，为数值计算和组合学的发展和创新提供新的方法和理论准备，也可以促进工程、经济、金融等实际问题的有效解决，具有很强的理论价值和社会经济效益。

结论摘要：

本项目旨在建立Lagrange反演公式的各种差商形式。由多元函数的混合偏差商建立多元Lagrange反演公式的差商形式，研究Lagrange反演公式在组合q模拟中应用，旨在研究Pfaff/Cauchy导数恒等式、Bell多项式、Bernouli数以及Stirling 数的q模拟问题。我们按照原定计划开展了研究，并取得了预期的成果。（1）我们得到了多元Lagrange反演公式的差商形式，并在此基础上得到了一系列新的矩阵反演公式。（2）我们对Stirling数的二元递推关系加以推广，得到两大类m-Stirling数，并研究了其组合解释及递推关系、生成函数。（3）在差商的基础上我们给出了Abel Hagen-Rothe恒等式的统一证明并由此得到了Taylor展开的推广，从而得到了新的组合恒等式。