中文摘要：

本项目涉及离散动力系统混沌现象及代换系统、斜积系统动力性态的研究。关于离散动力系统混沌现象的研究一直是数学工作者广泛关注的课题，在物理学、理论力学等其它学科中有着极大的应用价值。但混沌的研究目前仍然处在探索阶段，留给我们很大的研究空间，还有许多有意义的问题亟待解决。本项目旨在Li－Yorke混沌集和分布混沌集的构造、尺度及大小的研究中有所突破；同时拟探讨传递的几乎周期点稠密的系统的混沌性态、与Devaney混沌的关系；在此基础上进一步考察不同的混沌概念，如Li－Yorke混沌、分布混沌、Devaney混沌与正拓扑熵之间的关系；同时我们希望研究有着实际应用背景的系统- - 代换系统和斜积系统（特别是疯狂动力系统）的动力性态与混沌性态，并以此作为研究一般动力系统混沌性态的工具。

结论摘要：

本课题在项目组成员的共同努力下，较好地完成了预订计划，主要完成以下内容。 1.代换系统的动力性态 代换系统在动力学与计算数学、计算机科学等领域有着广泛的应用。我们研究了（1）本原等长代换有分布混沌点对的充分必要条件；（2）一类非本原代换系统为Li-Yorke混沌的充分必要条件；（3）等长代换为Li-Yorke混沌的充分条件；（4）非本原代换系统不存在分布混沌点对的充分条件；（5）证明了非本原代换不是DC3分布混沌的。 2.几种刻画系统混乱程度概念之间的关系 为了揭示混沌的本质，讨论刻画系统混乱程度概念之间的关系是十分重要的。我们从与前人不同的角度来认识混沌运动，讨论了Li-Yorke混沌、分布混沌、DC3型分布混沌与强非游荡集等之间的关系；Proximal性与动力系统的混沌性的关系等。 3.集值映射动力性态的研究 集值映射在生物物种、人口统计、数值模拟以及吸引子等的研究中有着重要的应用。因此，研究集值映射的动力性态十分重要。我们重点研究了集值映射的拓扑遍历性、链遍历性及混沌性态。 4.变参数动力系统的动力性态 一直以来，人们所关心的动力系统是由一个映射的迭代所产生。但随着混沌理论的发展以及客观实际的需要，目前，一个系统由一列连续自映射的迭代所产生的变参数动力系统被关注。我们主要研究了变参数动力系统的扩张性与拓扑熵等问题，并提出了s 次齐次迭代系统的思想，从而进一步拓展了离散动力系统的研究范围,该问题的研究有非常广阔的前景。 5.分形理论的应用 运用分形理论对长吉图地区15个城镇自2002年至2010年间的城镇规模体系进行了系统定量的分形研究。作出了长吉图地区首位度和序位—规模双对数坐标图，用首位度，4城市指数，11城市指数，q值，D值进行分析研究，得出长吉图开发开放先导区城镇规模分形特征。