中文摘要：

本课题主要研究复解析函数空间上的复合算子理论及其在复动力系统中的应用。这是解析函数论和算子理论相结合的产物，属数学基础理论方面的交叉前沿课题，其目的是利用经典解析函数论中的方法与结论探讨泛函空间与算子理论中的一些基本问题，同时也以泛函空间与算子理论为工具研究函数论中的经典问题。如今复合算子已受到了算子理论界与函数理论界的广泛关注，每年都有许多非常深刻的结果不断出现，且它们在复动力系统等相关学科中有着广泛而重要的应用。本课题将致力于研究多维解析函数空间和向量值解析函数空间上的复合算子,建立此种复合算子的积分表现，谱理论，以及它们与Banach空间几何性质之间的联系，探讨相应的等价条件及其在复动力系统中的应用。这将深化经典标量值函数空间上复合算子的研究，同时推广复解析复动力系统的相关结论, 丰富和推动泛函分析基本理论对解析函数理论的实质反馈。

结论摘要：

本课题中我们主要借助于经典解析函数论中的内容:诸如Littlewood从属理论,Julia-Carathéodory角导数理论,值分布中的Nevanlinna理论,Carleson测度理论,JB*-triple理论,Wolff迭代理论,Schroder函数方程和Konig存在定理,Dullee-Poussin可和核等内容系统地研究了几类重要解析函数空间上的复合算子理论及其在其它数学分支的部分应用. 给出了复合算子理论中最基本最核心问题:诸如有界性,弱紧性,弱本性范数,紧性,数值域,乘积性,下有界,闭值域,Fredholm性,谱及循环性等方面的刻画. 特别是最近结合Dvoretzky定理和函数空间之间的点乘子理论以及缺项级数的技巧给出了几类弱向量值复合算子的研究, 反映了几类不同款向量值空间之间的本质区别, 丰富和拓展了经典复合算子理论的研究内容，延伸了经典函数论的适用范围, 同时赋予经典函数论以新的意义. 作为应用我们研究了向量值Dirichlet函数空间上的随机幂级数和鞅空间上的加权不等式.