中文摘要：

本项目将研究以下两个密切相关、又分别具有独立意义的方面1.平坦度量的谱强刚性问题；2.平坦度量空间的度量性质。我们将主要研究下述基本问题1.平坦度量的谱强刚性问题方面平坦度量的标记长度谱是否决定其等距类。2.平坦度量空间的度量性质方面(1).在平坦度量空间上引入自然的（伪）度量Thurston伪度量、Lipschitz伪度量。(2).对实现Lipschitz伪度量的极值Lipschitz映射进行刻画，并讨论其唯一性。上述研究是与Riemann曲面理论、二次微分理论、双曲几何（特别是可测叶状结构理论）、Teichmüller理论以及geodesic current理论相交叉的。特别地，geodesic current理论的运用使我们可以从更高的层面上分析和解决问题。这些研究从理论上丰富和深化了对度量的刚性问题的研究，并将帮助人们更好地理解平坦度量空间的几何性质。