中文摘要：

均匀的超音速气流冲向一个具大张角的楔形体时，在楔前方会产生一个弓形的脱体的跨音速激波。对该激波的位置及波后流场的严格理论分析是偏微分方程和数学气体动力学中一个重要的问题。由于缺少特解，以及方程属非线性双曲-椭圆混合型，涉及激波和音速线两类自由边界，该问题研究进展较少。本项目拟就二维定常位势流方程，在Hodograph平面研究该问题，提出一些简化了的线性退化椭圆型方程或双曲-椭圆混合型方程的非经典的非线性边值问题。我们希望通过对简化问题的研究，作为突破口，来增进对决定上述脱体激波位置及波后流场性态的数学机制的理解，以促进钝体超音速绕流问题的数学分析和数值计算的发展。

结论摘要：

本项目研究了钝体超音速绕流问题中提出的一些简化了的偏微分方程边值问题。就二维定常位势流方程，在Hodograph平面研究了线性退化椭圆型方程的混合边值问题和双曲—椭圆混合型方程的Tricomi边值问题。同时继续研究了定常可压缩无粘理想流体中亚音速流、跨音速激波等的存在性、稳定性和唯一性。 在本项目中，我们考虑了在部分边界退化的Chaplygin 速度图方程混合边值问题经典解的存在性、唯一性以及正则性。利用Perron方法我们构造了该问题的经典解，在适当的条件下得到了所需估计。对于Chaplygin 速度图方程的Tricomi问题，我们通过向双曲区域作特征线，给恰当的边界条件，利用a-b-c能量方法证明了问题拟正则解的存在性与唯一性。另外，结合变分方法及散度形拟线性椭圆型方程的正则性理论，我们证明了大开口喷管内亚音速无旋欧拉流的存在性；结合微分几何工具，对双曲—椭圆复合—混合型的三维亚音速定常欧拉方程组，给出了适当的分解，证明了球对称跨音速激波的稳定性。 本项目所用方法和所得结果增进了我们对亚音速Euler方程组、跨音速激波及Hodograph平面上脱体激波等问题的理解，这有助于促进与钝体超音速绕流相关的问题以及偏微分方程的研究。